Ересечение поверхности плоскостью общего положения.

Построение линии пересечения плоскости общего положения и поверхности возможно двумя способами:

1. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость стала занимать проецирующее положение и тогда дальнейшее решение задачи соответствует рассмотренному выше.

2. Для нахождения точек, одновременно принадлежащих плоскости общего положения и поверхности, использовать метод вспомогательных секущих плоскостей.

Рассмотрим на примерах решения задач оба способа:

Задача 1. Построить линию пересечения сферы плоскостью общего положения, заданнoй двумя пересекающимися прямыми α(h∩ f).

Алгоритм решения задачи:

1. Произведем замену плоскостей проекций таким образом, чтобы плоскость α стала проецирующей, т.е. переведем плоскость общего положения в частное.  h – горизонталь, f- фронталь, чтобы перевести плоскость α в положение проецирующей плоскости необходимо выбрать новую плоскость проекций, либо перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, либо перпендикулярно фронтальной проекции фронтали – f₂ (рис.115).

2. Дальнейшее решение аналогично предыдущей задаче.

101-линия сечения конуса плоскостью

Плоские кривые линии, получаемые при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, называют кривыми конических сечений (коническое сечение).

В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть (рис.1): эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 1.  Конические сечения

Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс . В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.

В частном случае (φ=90⁰) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности; и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конуса.

Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола . В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую .

Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола . В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые. 

 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ* - линия пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Конические сечения могут быть трех типов: 

а) - секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения - замкнутая овальная кривая -эллипс, в частности, когда плоскость перпендикулярна оси конуса, - окружность;

б) - секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая в одной полости;

в) -  секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность ветвей, лежащих на обеих полостях конуса.

С точки зрения аналитической геометрии конические сечения - линии 2-го порядка; они выражаются в прямоугольных координатах уравнениями 2-й степени.

102-плоскость касательная к поверхности

Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания.

Решение задач, возникающих при проектировании и конструировании поверхностей-оболочек, требует проведения касательных плоскостей и нормалей к поверхности. При построении на проекционном чертеже очерков поверхностей по заданному направлению проецирования, при определении контуров собственных теней также необходимо строить касательные плоскости к поверхности. Построение касательной плоскости к поверхности представляет частный случай пересечения поверхности плоскостью.

Рисунок 123. Плоскость касательная поверхности

Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания   может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью.

Плоскость α (рис.123), представленную двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке.

Любая кривая поверхности, проходящая через  точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α.

Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной. Такие точки называются особыми точками поверхности, например вершина конической поверхности.

Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке.

1. (рис.123). Такие точки называются эллиптическими.

103-виды касания поверхности и плоскости