Экстремумы функции нескольких переменных

Ф

29

ункция z=f(x,y) имеет максимум в точке М(х₀:y₀) если выполняется условие f(х₀:y₀)> f(х:y) для всех точек x и y достаточно близких к М₀ но не совпадает с ним.

Функция z=f(x,y) имеет минимум в точке М(х₀:y₀) если выполняется условие f(х₀:y₀)< f(х:y) для всех точек x и y достаточно близких к М₀ но не совпадает с ним.

Максимум и минимум называют экстремумом функции

ф ункция z имеет точку минимума в точке x=1 y=2

z(1,2)=-1 (1,2)-по определению

Определение мин и макс .

Если >0 для достаточно малого числа приращения и то в точке х₀:y₀ минимум

Если <0 для достаточно малого числа приращения и то в точке х₀:y₀ максимум

это определение можно применят без изменений для любого числа переменных.

необходимое условие экстеммума.

Если функция f(x,y) |достигает экстемума при x=x₀ y=y₀ то каждое часное производное 1 порядка в точке x₀ y₀ либо не существует либо обращаешься в 0.

из этой теоремы следует что если функция достигает экстремум в некоторой токе о эта точка может быть в критической токе. (не достаточное условие)

теорема 2 (достаточное условие) Пусть в некоторой области соединяется точка М (x₀ y₀) функция f(xy) имеет не прерывные частные производные до 3 включительно . пусть кроме того точка М является критической точкой обозначим через

А - В - С -

возможны 4 варианта

1) f(x) имеет максимум в токе М если и А<0

2) f(x) имеет минимум в токе М если и А>0

3) f(x) не имеет ни максимум ни минимума в токе М если

4) f(x) возможно имеет а возможно и нет и А<0

Двойной и тройной интеграл их свойства и вычисления

Р

32

cсмотрим область xoy замкнутую область D ограниченную линией Lв облости D задана непрерывная функция z=f(x,y) разобьем область D какинибуть линиями на n частей чтобы и обозначим

Эти части обозначим как площадь чтобы не вводить новых переменных через обозначим не только но и ее площадь. каждой из которой произвольным образом выберем . обозначим через значение функции z в выбранной точке и составим сумму. ее назовем интегральной суммой функции f(x,y) в области D. если f(x,y)>0 в области D то каждое слагаемое в интегрируемой сумме есть объем цилиндра в основании которого а высота

Сумма есть сумма объемов указанных цилиндров. то есть объем некоторого ступенчатого тела.

Рассмотрим последовательность интегральных сумм для функции f(x,y) при различных способах разложения области D. Будем предполагать что макс диметр стремиться к 0 ( ) тогда количество при этом справедлива теорема.

Если функция f(x,y)- непрерывна в задорной области D существует придел последовательности интегральных сумм если max dim а этот предел не зависит от способа разбиения облости D ни от выбора точки из каждых площадок.

Этот предел называют двойным интегралом функции f(x,y) по области D.

Если f(xy) больше D тогда двойной интеграл числено равен V тела ограниченной поверхности образованной которой параллельна оси OZ а направление служит граница области D. Свойства двойного интеграла

Если облость D разбита на 2 облости D1 D2 без общих внутриних точек и функция не прерывна во всех точках области D то интеграл по области D можно записать так

Вычисление двойного интеграла

Пусть D некая облость в плоскости XOY и пусть она токова что прямая параллельна одной из осей на пример oy пересекает границу D в 2 точках М1 и М2 тогда облость D будет отганичена линиями x=a x=b причем функции и не прерывнына отрезке a b тогда область называется правильной в н направлении ox Аналогично вводим определение области параллельной ox

о бласть а правильна в обоих направлениях область б правильна тока в направлении ох.

Пусть в области D определена некотрарая фигура f(x,y)

-двукратный интеграл по облости D сначала вычисляеться интнграл стоящий в скобках при этом интнгрирование происходит по облости y а x считаеться постоянной в результате получается функция завищисящая только от x

32

далее эту функцию интегрируем по x в пределах от a до b в результате получаем некоторое число.

Может случиться так что из облость D такова что одна из функций не может быть задана в аналетической формулой и пусть например a<c<b и на [ab] и [cd] тогда двух кратный интеграл

тогда двойной интеграл непрерывной облости D функции f(xy) равен двойному интегралу от этой же функции по облости D при этом облость D должна быть правильной

Тройные интегралы имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)

1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T. Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.

пример вычислить тройной интеграл от функции по облости V

ограниченой x=0 y=0 z=0 x+y+z=1 -> z=1-x-y y=1-x

= =