Циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме

Введем, аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля, циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, который направлен вдоль обхода контура, Bl=Bcosα — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбора направления обхода контура), α — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(1)

где n — число проводников с токами, которые охватываются контуром L любой формы. Каждый ток в уравнении (1) учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление образует с направлением обхода по контуру

правовинтовую систему; отрицательным считается ток противоположного направления Рис.1

Например, для системы токов, изображенных на рис. 1,

Выражение (1) выполняется только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано дальше, для поля в веществе нужно учитывать молекулярные токи. Рис.2

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, который перпендикулярн плоскости чертежа и направлен к нам (рис. 2). Возьмем в качестве контура окружность радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она есть и линия магнитной индукции). Значит, циркуляция вектора В равна

Используя формулу (1), получим В•2πr=μ0I (в вакууме), откуда

Значит, используя теорему о циркуляции вектора В мы получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное ранее на основании закона Био-Савара-Лапласа.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В, можно увидеть, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле потенциально. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле носит название вихревое.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в теории о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, поскольку дает возможность находить магнитную индукцию поля без использования закона Био-Савара-Лапласа.

Вопрос №5 - 16

Нет

Вопрос №17 Действие однородного магнитного поля на контур с током. Работа при перемещении контура с током в магнитном поле.

= [ _m ], M = p_mB

( _m – магнитный момент рамки с током; - магнитная индукция; α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором ).

_m = IS , _m = IS

(S – площадь поверхности контура (рамки); – единичный вектор нормали к поверхности рамки).

Направление _m совпадает с направлением положительной нормали.

Работа при перемещении контура с током в магнитном поле.

Работа dA сил Ампера при рассматриваемом перемещении контура (см. рис.) равна сумме работ по перемещению проводников ABC (dA₁) и CDA (dA₂), т.е. dA = dA₁ + dA₂. Согласно dA = IdФ,

dA₂ = I(dФ₀ + dФ₂)

(dФ₀ – поток, пересекаемый проводником CDA при движении сквозь заштрихованную поверхность, dФ₂ – поток, пронизывающий контур в конечном положении).

dA₁ = - I(dФ₀ + dФ₁)

(знак минус – силы образуют с направлением перемещения тупые углы).

dA = - I(dФ₂ - dФ₁).

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.