- •Д ифференциал функции и дифференциал независимой переменной. Таблица производных, интегралов и их взаимосвязь.
- •Основные свойства неопределенного интеграла. Способ непосредственного интегрирования.
- •Метод замены переменной интегрирования.
- •Интегрирование по частям, неопределенный интеграл. Самоприводящиеся интегралы.
- •Приведение рациональных дробей к простейшим.
- •Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Метод замены переменной интегрирования в определенном интеграле.
Д ифференциал функции и дифференциал независимой переменной. Таблица производных, интегралов и их взаимосвязь.
а) производная: f(x)=y дифференцируема в X0; Определение производной
б) дифф-л функции: dy = f'(x) * Δx Формула дифференциала,
Δx-изменение ф-ции. Более подробно ↓
Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной при переходе от точки Х0 к точке Х0+ΔХ
в) Дифференциалом независимой переменной Х называется приращение ΔХ к этой переменной. dx=Δx; dy = f'(x) * dx дифференциал аргумента. Дифф-ал dy является функцией двух независимых переменных; изменение значения Х не влияет на значение dx. ; x=x0+dx; f(x0+dx)=f(x0) + f’(x0)*dx (dF(x) = f’(x)dx !!!!!)
Инвариантность дифференциала: он определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией аргумента.
г) взаимосвязь таблиц: интегрирование является операцией,
обратной дифференцированию.
Основные свойства неопределенного интеграла. Способ непосредственного интегрирования.
Совокупность всех первообразных F(x)+c для данной функции f(x) на некотором промежутке Х называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на этом промежутке; обозн-тся Интегрирование – процесс нахождения первообразной для подынтегральной функции. Геометрически неопред-ый ᶴ представляет собой семейство «паралл-ых» линий.
а) основные свойства: 1) производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. ( )’=F’(x)=f(x); 2) неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции + некоторая произвольная постоянная ; 3) если а – постоянная величина, то ; 4) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алг. сумме интегралов от слагаемых ф-ции; 5) Инвариантность формул интегрирования (всякая формула интегр-ния справедлива независимо от того, является ли переменная интегр-ния независимой или же дифференц-мой ф-цией от независимой переменной. , выводим, что или .
Способ непосредственного интегрирования применим к интегралам, которые не требуют предварит-х преобразований спец. методами (по частям и подстановки).
Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрирования.
Метод замены переменной интегрирования.
М-д замены = м-д подстановки, широко используется при интегрировании иррац-ных ур-ний; новая переменная выбирается так, чтобы избавиться от иррациональности; основа – св-во инвариантности формул интегрирования.Суть: при помощи надлежащим образом подобранной замены переменной интегрирования данное отынтегральное выражение преобразуется, и интеграл приводится либо к табличному, либо к более простому инт-лу.
В соответствии со свойствами инвар-ти сделаем замену: x = φ(t), тогда ; dφ(t)=φ’(t)dt;
После интегрирования по переменной t нужно в полученном результате перейти от переменной t к переменной х, используя зависимость х=φ(t), поэтому ф-ция f(t)должна иметь обратную функцию, чтобы можно было выразить t через x. (Помимо формы x=f(t) часто используется форма замены переменной φ(x)=t; также подстановка ψ(x)=φ(t), требования, как к первым двум).
Обе функции должны иметь непрерывные производные и обратные функции в области опр-ния подынт-й ф-ции.
*при интеграровании выражений, явл-ся ф-цией от (x, ) или (x, ) целесообразно использовать тригонометрические подстановки (напр. x=2sinT