20. Производная сложной функции.

Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!  Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Пример Найти производную функции  .

Решение.

Поскольку  , то по правилу производной сложной функции получаем

      

21. Функции нескольких переменных и их неопределённость.

Функции двух переменных       Приращение функции 

     Функция, дифференцируемая в точке   

 при 

В этом случае дифференциал функции в точке  :

 - частные производные, вычисленные в точке  .

     Дифференцирование композиции 

     1. Если   то

     2. Если   то:

     Однородная функция степени k 

Это тоже подходит?)))смотри ниже теорию

-Если каждой упорядоченной паре чисел   по некоторому закону   поставлено в соответствие единственное действительное число  , то говорят, что задана функция двух переменных   или  . Числа   называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число   – зависимой переменной.

- число  называется пределом функции   при   (или в точке  ), если для любого сколь угодно малого положительного числа   существует   (зависящее от  ) такое, что для всех   и удовлетворяющих неравенству   выполняется неравенство  .

22. Производные функции нескольких переменных.

  Пусть f(x, y) — функция двух переменных x, y, определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀). Если существует конечный предел  ,то функция f(x, y) имеет в точке (x₀, y₀) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная функции f(x₁, x₂, …, x_n) по переменной x_i : Обозначают: , .

23. Дифференциалы функции нескольких переменных.

http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/mathematic/fun.htm

24. Поиск экстремума функции одной переменной.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Последние называют еще задачами оптимизации. Рассмотрим конкретный пример функции f(x), показанной графиком на рис. 8.8 на интервале (-2,5). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум на правой границе интервала (в порядке слева направо).

Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканиро-вать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Последний путь таит в себе некоторую опасность уйти в зону другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее из соображений экономии времени.