1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)

сходится, то функциональный ряд сходится равномерно на Е.

№29. Понятие функции комплексного переменного. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.

О пределение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.

        Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = {z| z = x + iy} и W = {w| w = u + iv}. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке z ∈ D определённое комплексное число w ∈ W. В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция w = f(z) (или определено отображение f : z → w). Область D называется областью определения функции, множество {w| w ∈ W, w = f(z), z ∈ D} - множеством значений функции (или образом области D при отображении f.

        Если каждому z ∈ D ставится в соответствие несколько значений w ∈ W ( т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f(z) называется многозначной.

        Функция w = f(z) называется oднолистной в области D ⊂ C, если она взаимно однозначно отображает область D на область G ⊂ W (т.е. каждая точка z ∈ D имеет единственный образ w ∈ G, и обратно, каждая точка w ∈ G имеет единственный прообраз z ∈ D.

Пусть функция w=f (z) определена в некоторой области G комплексной плоскости. Пусть точки z и z+Dz принадлежат области G. Положим Dw=f (z+Dz)–f (z), Dz = Dx+iDy.

Функция w=f (z) называется дифференцируемой в точке zОG, если существует предел . Этот предел называют производной функции f (z) и обозначают через f¢  (z ) (или ). Итак,

Пусть z=x+iy, w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), тогда в каждой точке дифференцируемости функции f (z) выполняются соотношения: Эти соотношения принято называть условиями Коши-Римана (или уравнениями Коши-Римана).

Когда в некоторой точке (x,y) выполняются условия Коши-Римана и, кроме того, функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы как функции действительных переменных, то функция f (z)=u+iv дифференцируема в точке z=x+iy как функция комплексного переменного z.

Если функция дифференцируема как в самой точке z, так и в её некоторой окрестности, то говорят, что она аналитическая в точке z.

Функцию, дифференцируемую в каждой точке области G, называют аналитической в этой области.

Производная аналитической функции через частные производные функций u и v выражается по формулам:

Производные элементарных функций комплексного переменного находятся по тем же формулам и правилам, что и для функций действительного переменного.

Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.

        Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения .         Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |² = x² + y² не имеет производных в точках z ≠ 0: подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy = 0) и Δz = iΔy (Δx = 0).         В первом случае: Δw = (u(x + Δx, y) + iv(x + Δx, y)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = = (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δ_xu + iΔ_xv; .         Во втором случае: (напомню, что ) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) = Δ_yu + iΔ_yv; . Пределы должны быть равны, поэтому .         Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (х,у), поэтому где α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е. , . Найдём . .         Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Δz = Δx + iΔy: ; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим на , на ; тогда . Отсюда следует, что существует , т.е. функция дифференцируема в точке (х,у).         Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа: (в точках, где g(z) ≠ 0.

№30. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Гармонический ряд.

Бесконечным числовым рядом называется выражение

u1+u2+...+un+... ,

(1)

содержащее неограниченное число членов, где u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_n , ...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда.   Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.   Например, если u_n = 2*n+1, то ряд имеет вид: 3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1

  Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид: -1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)ⁿ

  Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом, S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n или, короче,

  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.   Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут S = u₁ + u₂ + ... + u _n + ...

  Если же при n сумма S_n не имеет предела или

то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.    Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии

a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ...,

(2)

Где -1 < q < 1

  Действительно, для этого ряда

Sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 =

  При n   qⁿ0 (так как | q |<1), поэтому

и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать

= a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ... .

  Если q = 1, то ряд (2) имеет вид

a + a + a + a + ... + a + ... .

(3)

  Сумма S_n первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся.   Если q = -1, то ряд (2) примет вид

a - a + a - a + a - a +... +(-1)n-1 a + ... .

(4)

  Ясно, что для этого ряда S_2n=0 ,   S_2n-1=a.

т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a.

  Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как S_2n так и S_2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S.

  Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся.

Ряд

1 + 2+ 3+ ... + n +... ,

(1)

очевидно, расходится, но и ряд

(2)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится.   Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина

при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем .   Отсюда , или , или .

  Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:

 

 Складывая почленно эти неравенства, получим: , или S_n>ln(n+1)

Но , а поэтому и , т.е. ряд (2) расходится.   Ряд (2) называется гармоническим рядом.

№31. Постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Формула решения задачи, записанное в полярных координатах.

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению:

внутри круга

(1)

граничному условию

на границе круга,

(2)

где -заданная функция, -полярный угол. .

Введем полярную систему координат с началом в центре круга. -полярные координаты.

Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид

.

(3)

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида .

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

(4) (5)

Определим знак :

1 случай Пусть например Рассмотрим уравнение (5)

Характеристическое уравнение имеет вид

-это решение не подходит, так как при изменении угла на величину однозначная функция должна вернуться к исходному значению (условие периодичности).

Отсюда следует, что то есть является периодической функцией

угла с периодом .

2 случай Пусть , тогда -это решение подходит для уравнения (5) системы при условии, что A=0.

Рассмотрим уравнение (4) системы:

Пусть тогда:

Таким образом получаем : -решение уравнения в общем случае.

3 случай Пусть например Решение уравнения (5): причем .

Рассмотрим уравнение (4) системы:

Функцию будем искать в виде Подставим в уравнение (4):

Следовательно, - решение уравнения, где C и D –постоянные. Для решения внутренней задачи надо положить , так как, если , то функция обращается в бесконечность при и не является гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены: ,

-вид общего решения.

(6)

Удовлетворим краевому условию:

Считая, что задана как функция угла , возьмем ее разложение в ряд Фурье где

Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу (6) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

(8)

Произведем следующие тождественные преобразования:

Подставляя полученный результат в равенство (8), получаем

-интегральная формула, дающая решение задачи.

-ядро Дирихле.

№32. Представление непериодической функции рядом Фурье.

Разложение в ряд Фурье в интервале [−L, L]

Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид

Коэффициэнты Фурье для данной функции определяются формулами

Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая , получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x):

где

Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]

Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой где , а коэффициэнты вычисляются следующим образом:

Четные и нечетные функции

Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [− L, L], имеет вид где

Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [− L, L], выражается формулой где коэффициэнты Фурье равны

№33. Преобразование Лапласа. Образы простых функций.

Определение 1: Преобразованием Лапласа для комплекснозначной функции действительного переменного f(t) наз-ся несобственный интеграл с комплексным параметром р: (от 0 до +)f(t)e^-ptdt=F(p)=(f(t)) (1)

Эта функция комплексного переменного F(p) наз-ся также изображением функции f(t) (по Лапласу). (Оператор Лапласа). F(p)f(t), F(p)f(t).

Т-ма о существовании изображения.

Если: 1) f(t) кусочно-непрерывна на [0, +[ (т.е. на каждом конечном отрезке [a, b][0, +[ может иметь только конечное число точек разрыва 1-го рода - устранимых или скачков), 2) f(t) при t+ растет не быстрее экспоненты: f(t)Me^t, где М0 и 0 - некоторые постоянные, то в полуплоскости Rep сущ-ет изображение F(p) (т.е. несобственный интеграл (1) сходится), аналитическое в этой полуплоскости.

• Сначала заметим, что благодаря равенству (от a до b)z(t)dt=(от a до b)x(t)dt+i(от a до b)y(t)dt определенный интеграл от комплекснозначной функции действительного переменного обладает обычными св-вами интеграла от действительнозначной функции действительного переменного. Т.к. e^-ptC[0, +[, то f(t)e^-pt, f(t)e^-pt тоже кусочно-непрерывны на [0, +[, и потому сущ-ют (от 0 до b)f(t)e^-ptdt и (от 0 до b)f(t)e^-ptdt. Если покажем, что при Rep интеграл (1) абсолютно сходится, т.е. сущ-ет (от 0 до +)f(t)e^-ptdt=lim (от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b), то отсюда будет следовать, что и сам интеграл (1) сходится, т.е. сущ-ет F(p)=(от 0 до +)f(t)e^-ptdt=lim (от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b). Воспользуемся признаком сравнения ( если (x[a, +[)[f(x)0, (x)0, f(x)(x)], то из сходимости (от a до +)(x)dx следует сходимость интеграла (от а до +)f(x)dx ). Если Rep, то (t[0, +[): f(t)e^-pt=f(t)e^-pt=  e^z=e^x=e^Rez = =f(t)e^Re(-pt)=f(t)e^-(Rep)tMe^te^-(Rep)tdt  f(t)e^-ptMe^(-Rep)t. Интеграл (от 0 до +)Me^(-Rep)tdt сходится:

lim (от 0 до b)Me^(-Rep)tdt=Mlim (e^(-Rep)t/(-Rep)) (от 0 до b)=M/(-Rep)lim (e^(-Rep)b-1)= -Rep0  e^(-Rep)b0(e^-) = =M/(Rep-). Значит, и (от 0 до +)f(t)e^-ptdt сходится  (от 0 до +)f(t)e^-ptdt сходится. Аналитичность F(p) в области Rep примем без док-ва. 

Определение 2: Комплекснозначная функция действительного переменного f(t), определенная на [0, +[ и удовлетворяющая условиям 1) и 2) т-мы о существовании изображения, наз-ся оригиналом. Число  наз-ся показателем роста оригинала.

Ясно, что если ₁, то тем более f(t)Me^1t, поэтому любое большее число ₁ также явл-ся показателем роста. Если бывает нужно рассмотреть оригинал f(t) на всем интервале ]-, +[ , то полагают f(t)=0 при t0. Оригиналами явл-ся все ограниченные кусочно-непрерывные функции: f(t)M  f(t)Me^0t (показатель роста =0). Например, f(t)=cost, sint. Все степенные функции f(t)=t^ (R), т.к. они растут медленнее экспоненты. Все показательные функции f(t)=a^t (aC): a^t=

=e^tLna=e^{t(lna+iArga)}=e^tlna  =lna. Примеры не оригиналов: f(t)=tgt (имеет разрывы 2-го рода t=/2+k). f(t)=e^{t^2} (растет быстрее e^t). Согласно т-ме о существовании изображения, для каждого оригинала f(t) с показателем роста  сущ-ет и притом единственное изображение F(p), аналитическое в полуплоскости Rep.

Т-ма обращения. Если f(t) - оригинал с показателем роста , а F(p) - его изображение, то во всех точках, где f(t) непрерывна, выполняется равенство f(t)=1/(2i)(от a-i до a+i)F(p)e^ptdp=^-1(F(p)), (2)

где а - любое действительное число, большее , а интеграл берется по прямой ={p: Rep=a} и понимается как предел интеграла по отрезку от a-ib до a+ib при ba.

 Без док-ва 

Т.о., каждому изображению F(p) по формуле (2) соответствует единственный оригинал f(t) (с точностью до значений в точках разрыва: оригиналы, отличающиеся значениями только в точках разрыва, имеют одно и то же изображение F(p)=

=(от 0 до +)f(t)e^-ptdt, т.к. значения функции f(t) в конечном числе точек не влияют на величину интеграла. Интеграл (2) наз-ся обратным преобразованием Лапласа.

Изображения некоторых элементарных функций.

1) Единичная функция Хевисайда. =1(t)={0, при t0; 1, при t0.

(т.к. для изображения F(p) значение функции f(t) в одной точке не имеет значения, то (0) можно не задавать). Т.к. (t) ограничена, то показатель роста =0, и в полуплоскости Rep0 сущ-ет аналитическое изображение F(p)=((t))=

=(от 0 до +)(t)e^-ptdt=(от 0 до +)e^-ptdt=e^-pt/-p (от 0 до +)= e^-pt=e^-Rept0  e^-pt0=0+1/p; (t)1/p, или 11/p.

2.Экспонета e^t, C. e^t=e^Ret  =Re, и в полуплоскости RepRe: F(p)=(e^t)=(от 0 до +)e^te^-ptdt=e^(-p)t/(-p) (от 0 до +)=  e^(-p)t=e^(Re-Rep)t0  e^(-p)t0 =0+1/(p-); e^t1/(p-).

3.Степенная функция tⁿ (nN). При t tⁿe^t при любом 0, так что показатель роста =inf{}=0, и в полуплоскости Rep0: F(p)=(tⁿ)=(от 0 до +)tⁿe^-ptdt= u=tⁿ; dv=e^-ptdt =tⁿ(-1/pe^-pt)(от 0 до +) - (от 0 до +)(-1/pe^-pt)nt^n-1dt=  e^-pt=

=e^-Rept0  tⁿe^-pt=tⁿe^-Rept0  tⁿe^-pt0 =0+n/p(от 0 до +)t^n-1e^-ptdt= u=t^n-1; dv=e^-ptdt =n/p[t^n-1(-e^-pt/p) (от 0 до +) -

(от 0 до +)(-1/pe^-pt)(n-1)t^n-2dt] =n(n-1)/p² (от 0 до +)t^n-2e^{- pt}dt=...=n(n-1)...(n-(n-1))/pⁿ(от 0 до +)t^n-ne^-ptdt=

= n!/pⁿ(-1/pe^-pt) (от 0 до +)=n!/pⁿ(0+1/p)=n!/pⁿ⁺¹; tⁿ  n!/pⁿ⁺¹.

№34. Приближенные вычисления значений ф-й и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

№35. Приближенное решение диф. уравнений с помощью степенных рядов.

№36. Приведение диф. уравнений с частными производными каноническому виду.

Можно показать, что:

Рассмотрим три случая:

1)   - уравнение гиперболического типа.

В этом случае уравнения   (5)   и их общие интегралы вещественны и различны:    . Они определяют два вещественных и различных семейства характеристик.

Положим:  

Тогда из  

  получаем, что A = C = 0; из   получаем, что

Поделим уравнение   на 2B, получим:

Это первая каноническая форма уравнения гиперболического типа.

С помощью замены уравнение (8) можно привести к виду:

Это вторая каноническая форма уравнения гиперболического типа.

2)   - уравнение параболического типа.

Уравнения (5), а следовательно, и их интегралы совпадают, т.е. мы получаем только одно вещественное семейство характристик:

  - имеем одно решение; соответственно имеем ξ = φ(x, y).

В качестве второй переменной η(x, y) возьмем любую дважды непрерывно-дифференцируемую функцию, для которой:

 

Тогда из (3) имеем ; так как

Покажем, что   так как

Если С = 0 в точке M₀, то aη_x + bη_y = 0; добавим уравнение, определяющее семейство характеристик: aξ_x + bξ_y = 0; тогда  

Рассматривая эту систему, как систему линейных алгебраических уравнений относительно а и b. Так как а и b не обращаются в нуль одновременно, то у системы существует нетривиальное решение. Следовательно D = 0, так как D = J, то J = 0.

  , что противоречит (*). Значит . Поделим (2) на С: