- •1, Визначники другого і третього порядку, їх властивості.
- •3, Вектором называется направеный отрезок, тоесть отрезок имеющий определенную длину и определенное направление.
- •Свойства векторного произведения
- •9, Мішаний добуток векторів, його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови компланарності трьох векторів.
- •Свойства смешанного произведения
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ).
Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Механический смысл векторного произведения: Пусть у некоторой точки А приложена сила F под углом фи. Рассмотрим некоторую фиксированую точку О. Моментом F относительно О называется вектором , величина которого равна произведения модуля силы на плече
Момент силы приложеной к т. А относительно О равен векторному произведению радиусу вектора ОА на .
Геометрический смысл векторного произведения:
А) и - колинеарны
Б) построенного на этих векторах приведеных к общему началу. Отсюда
В) Если - единичные орты, то , , , .
8, Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):
Полученную формулу можно записать еще короче:
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.
Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів.
9, Мішаний добуток векторів, його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови компланарності трьох векторів.
Определения смешанного произведения, его геометрический смысл
Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
Выясним геометрический смысл выражения (ахb )*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb (см. рис. 22).
Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.