- •Перечень вопросов к экзамену по математическому анализу за 1-й семестр
- •1. Множества и действия с ними. Понятия множества и его элемента. Числовые множества. Задание множеств. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера–Венна.
- •Основные свойства сходящихся последовательностей
- •7. Бесконечно малые и большие числовые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- •8. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей. Основные теоремы о пределах числовых последовательностей.
- •Предел по Гейне:
- •11. Основные теоремы о пределе функции в точке. Первый и второй замечательные пределы.
- •12. Непрерывные функции. Определение, теорема о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух функций. Характеристика точек разрыва функции.
- •13. Свойства непрерывных функций. Понятие равномерной непрерывности функции.
- •Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции)
- •15. Дифференциал функции, определение, геометрический смысл. Производные высших порядков. Производные функций, заданных параметрически и неявно.
- •16. Теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •17. Локальные минимумы и максимумы. Необходимые и достаточные условия. Исследование поведения дифференцируемой функции.
Предел по Гейне:
Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любой, сходящейся к точке а последовательности значений аргумента х (отличных от а), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.
Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого e-окрестности точки А, можно найти проколотую d-окрестность точки а, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат e-окрестности точки А. – по Коши.
Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности x1, x2, …, xn, … такой, что xn > a (xn < a), соответствующая последовательность f(x1), f(x2), …, f(xn), … сходится к А.
Число А называется пределом функции f(x) при х®+¥ , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента x1, x2, …, xn, … ( xn >0 ) соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2), …, f(xn), … сходится к А.
Ч исло А называется пределом функции f(x) в + бесконечности, если для любой e-окрестности точки А, можно найти N-окрестность + бесконечности, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат e-окрестности точки А.
Функция f(x) имеет в точке а предел равный плюс бесконечности (является положительной бесконечно большой в окрестности точки а ), если для любой N-ок-рестности плюс бесконечности, можно найти проколотую d-окрестность точки а, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат N-окрестности плюс бесконечности.
Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки а (в точке а), если ее предел в этой точке равен 0.
Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел в точке а необходимо и достаточно, чтобы функция a(х) = f(x) – A была бесконечно малой при х ® а.
Свойства бесконечно малых:
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая
Величина обратная бесконечно малой есть величина бесконечно большая
Величина обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая
11. Основные теоремы о пределе функции в точке. Первый и второй замечательные пределы.
Т1. (О единственности предела)
Если функция f(x) имеет предел в точке а, то этот предел единственный.
Т2. (О предельном переходе в неравенстве )
П усть функции f(x) и g(x) определены на одном и том же промежутке Х и существуют пределы этих функций в т. а
Кроме того, существует такое число d > 0, что для всех х из d-окрестности числа а f(x) ³ g(x). Тогда A ³ B.
Т3. (Об ограниченности функции имеющей предел)
Е сли функция f(x) имеет конечный предел в точке а, то существуют числа М > 0 и d > 0 такие, что для всех х из d-окрестности точки а
Т 4. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, функции f(x) и h(x) имеют в точке а предел, равный А, т.е.
Т огда если f(x) £ g(x) £ h(x), то
Т5. (Связь предела с алгебраическими операциями)
Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы В и С. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и f(x)/g(x) (при С ¹ 0) имеют в точке а пределы, равные В ± С, В × С и B/C соответственно.