Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных

Рассматриваем случай трехмерного пространства . Пусть -- вектор. Будем считать, что . Его координаты представимы в виде направляющих косинусов , где -- углы между вектором и соответствующими осями. Функция определена в окрестности точки . Из точки проведем прямую с направляющим вектором . Выберем на этой прямой точку на расстоянии от . Приращением функции вдоль вектора называется величина

где, -- приращение аргумента вдоль оси . Если существует предел

то он называется производной функции по направлению в точке . Это -- мгновенная скорость изменения функции по направлению .

Замечание 1.   Градиентом функции ( ) будем называть вектор из частных производных функции. Частная производная -- это предел отношения приращения функции к приращению аргумента только по одной переменной.

Пусть -- точка на построенной прямой, тогда

И в новой записи (производная сложной функции):

Пусть . Тогда

Но, исходя из того, что производная по направлению -- проекции градиента на направление , получим

. Значит, -- наибольшая, если совпадает с направлением градиента.

Определение 1.   Градиент -- вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции.