2.2. Решение задачи

Предположим, что в системе существует локальное термодинамическое равновесие, давление и температура в каждой точке системы являются одинаковыми для каждого компонента в каждой фазе.

2.2.1. Расчет коэффициентов распределения и определение молярных долей жидкости и пара

После того, как будут заданы критические параметры и ацентрические факторы компонентов, начальное и конечное давления, температура смеси, необходимо рассчитать пробные значения коэффициентов распределения. Эти коэффициенты вычисляются из предположения, что газ является идеальным, а жидкость – идеальным раствором, в таком случае выполняется закон Рауля:

(6)

где Р – давление в паровой фазе,

Р_si – давление насыщенного пара чистого компонента при заданной температуре,

y_i – молярная доля газовой фазы в смеси,

x_i – молярная доля жидкой фазы в смеси.

Следовательно коэффициент распределения:

(7)

Давление насыщенного пара вычисляется по эмпирическим формулам для каждого отдельного компонента:

(8)

С помощью коэффициентов К_i, можно рассчитать молярные доли y_i и x_i через уравнения фазовых концентраций компонентов смеси:

, , (9),(10)

где V – молярная доля паровой фазы во всей системе, z_i – мольная доля i-ой компоненты в смеси.

2.2.2. Расчет уравнения состояния

В расчете используется уравнение состояния Пенга-Робинсона, разрешаемое относительно коэффициента сверхсжимаемости .

Подставляя молярный объем, выраженный через коэффициент сверхсжимаемости, в уравнение Пенга – Робинсона, получим кубическую запись этого уравнения:

(11)

или для удобства запишем: (12).

Для того, чтобы рассчитать коэффициенты a и b необходимо воспользоваться правилами смешения:

, (13),(14)

где K_ij - коэффициент бинарного взаимодействия, который в рассматриваемой задаче равен 0,8.

2.2.3. Метод Кардано

Основой расчета в данной работе послужил аналитический метод Кардано. В уравнении Пенга-Робинсона, приведенного к кубической форме записи относительно коэффициента сверхсжимаемости, для упрощения вводится замена , после ее подстановки исходное уравнение примет вид:

(15)

где и .

Далее для вычисления корней находим (15’) и рассматриваем три случая:

1. Q<0, k<0

, , (16),(17)

где .

2. Q≥0, k>0

(18), где , .

3. Q≥0, k<0

(19), где , .

С помощью найденного корня вычислим коэффициент сверхсжимаемости, который в свою очередь будет использован в расчете объема фазы и коэффициентов фугитивности.

Данный алгоритм будет выполнен отдельно для каждой из двух фаз, причем для жидкой фазы в первом случае будет браться минимальный корень, а для газовой – максимальный.

2.2.4. Расчет коэффициентов фугитивности и пересчет констант распределения

Следующим шагом вычислений является расчет коэффициентов фугитивности для жидкой и паровой фаз. После чего можно будет рассчитать фугитивность (летучесть) для каждого компонента каждой фазы.

- фугитивность (летучесть) i-го компонента в j-ом состоянии, характеризует меру способности молекул вещества перейти и одной фазы в другую. Условие равенства летучестей является условием равновесия системы.

Летучести вычисляются через коэффициенты фугитивности по формуле: , (23) где - молярная доля i-го компонента в j-ом состоянии.

Вычислить же коэффициенты фугитивности можно следующим образом. Если уравнение состояния рассчитывается для всей смеси, то получаем два коэффициента сверхсжимаемости Z^L и Z^G. В итоге коэффициенты летучести рассчитываются по формулам:

(20)

(21).

Далее выполняется перерасчет коэффициентов распределения . Если летучести компонентов не равны, то вся процедура расчета повторяется, начиная с вычисления мольных долей компонентов и жидкой и паровой фазах и заканчивая данным шагом. То есть выполняется итерация. После данной процедуры получаем описание равновесного состояния системы через полученные мольные доли и мольные объемы для каждого компонента в жидкой и паровой фазах.