Основы практического использования теории надежности

Случайные величины (от 1 до 100) располагают в порядке возрастания их абсолютных значений (тыс. км.):

L₁ = L_min; L₂; L₃;…;L_i;…L_n-1; L_n = L_max (1)

где L₁... L_n - реализации случайной величины L;

n - число реализаций.

Далее необходимо произвести точечные оценки СВ.

Среднее значение СВ:

(2)

Размах СВ:

z = L_max - L_min (3)

Д исперсия:

(4)

Среднеквадратическое отклонение  :

(5)

Коэффициент вариации v:

(6)

В ТЭА различают случайные величины с малой вариацией (v ≤ 0,1), со средней вариацией (0,1 ≤ v ≤ 0,33) и с большой вариацией (v > 0,33).

Используя исходные данные примера расчета, определяем некоторые точечные оценки СВ.

Среднее значение СВ:

Дисперсия:

где i - число интервалов.

Среднеквадратическое отклонение  :

Коэффициент вариации v:

Точечные оценки позволяют нам предварительно судить о качестве изделий и технологических процессов. Чем ниже средний ресурс и выше вариация (, v, z), тем ниже качество конструкции и изготовления (или ремонта) изделия. Чем выше коэффициент вариации показателей технологических процессов ТЭА (трудоемкость, простои в ТО или ремонте, загрузка постов и исполнителей и др.), тем менее совершенны применяемые организация и технология ТО и ремонта.

Вероятностные оценки СВ. При выполнении курсовой работы для составления сводной таблицы необходимо разбить размах СВ на несколько (не менее 5 и не более 11) равных по длине ∆L интервалов (см. табл.1). Далее следует произвести группировку, т.е. определить число случайных величин, попавших в первый (п₁), второй (п₂) и остальные интервалы. Это число называется частотой. Разделив каждую частоту на общее число случайных величин (п₁ + п₂ + ... + п_п = п), определяют частость. Наглядное представление о величине частости дает графическое изображение гистограммы и полигонов распределения (рис.1). Данное графическое изображение строится по данным о наработке и величине частости, которая рассчитывается по формуле:

w_i = п_i / п (7)

Рис 1. Графическое изображение случайной величины

Частость является эмпирической (опытной) оценкой вероятности Р, т.е. при увеличении числа наблюдений частость приближается к вероятности: w_i → p_i.

Полученные при группировке СВ результаты сводятся в таблицу (см. табл.1), данные которой имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Например, по результатам наблюдений можно предположить, что у аналогичных изделий в тех же условиях эксплуатации и в интервале наработ­ки 14,5-15 тыс. км может отказать около 1% изделий (w_i ≈ p_i = 0,01), в интервале 15-15,5 тыс. км - 10%, интервале 15,5-16 тыс. км - 43% и т.д. Следовательно, имея систематизированные данные по отказам, можно прогнозировать и планировать число воздействий (программу работ), потреб­ности в рабочей силе, площадях, материалах и запасных частях.

Вероятность случайного события. В общем виде это отношение числа слу­чаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу случаев.

Вероятность отказа рассматривается не вообще, а за определенную нара­ботку L:

F(L) = P{L_i<L} =m(L)/n (8)

где m(L) – число отказов за L;

п – число наблюдений (изделий).

Вероятность отказа изделия при наработке L равна вероятности событий, при которых наработ­ка до отказа конкретных изделий L_i окажется менее L.

Отказ и безотказность являются противоположными событиями, поэтому:

R(L) = P{L_i ≥ L} = n-m(L)/n (9)

где n-m(L) - число изделий, не отказавших за L.

В примере расчета курсовой работы (см. табл.1) при L - 15 тыс. км имеем:

F(L) = P{L_i<15} = L₁+L₂/n = m(L)/n =11/100 =0,11

R(L) = P{L_i ≥ 15} = n-m(L)/n = 100 – 11/100 = 0,89

Рис. 2. Графическое изображение случайной величины

Наглядное представление о СВ дает их графическое изображение интегральных функции распределения вероятностей отказа и безотказной работы (рис.2).

Следующей характеристикой случайной величины является плотность вероятности (например, вероятности отказа) f(L) - функция, характеризующая вероятность отказа за малую единицу времени при работе узла, агрегата, детали без замены. Если вероятность отказа за наработку F(L) = т(L)/п, то, дифферен­цируя ее при п = const, получим плотность вероятности отказа:

(10)

где dm/dL - элементарная "скорость", с которой в любой момент времени проис­ходит приращение числа отказов при работе детали, агрегата без замены.

Рис. 3. Дифференциальная функция распределения − закон распределения СВ.

Наглядное представление о вариации СВ дает графическое изображение дифференциальной функции или закона рас­пределения случайной величины (рис.3).

F(L) называют интегральной функцией распределения, f(L) - диф­ференциальной функцией распределения.

Имея значения F(x) или f(x), можно произвести оценку надежности и опре­делить среднюю наработку до отказа:

. (11)

Таблица 1