1.4.2. Деформации

Деформацией называют изменение формы и размеров тела под действием нагрузок. Рассмотрим количественные меры деформации. Выделим в недеформированном теле линейный элемент АВ и обозначим его длину через l (рис. 1.5). Длину этого же элемента после деформирования (длину отрезка А₁В₁) обозначим через .

Р ис. 1.5

Величину

(1.3)

называют линейной деформацией или относительным удлинением в точке А в направлении АВ. Таким образом, в соответствии с (1.3) линейной деформацией в точке А в направлении АВ называют предел отношения приращения длины отрезка АВ к его начальной длине при устремлении точки В к точке А.

Рассмотрим далее в недеформированном теле два взаимно перпендикулярных линейных элемента АВ и АС (см. рис. 1.5). После деформирования эти элементы займут положение А₁В₁ и А₁С₁.

Величину

(1.4)

называют угловой деформацией или углом сдвига в точке А в плоскости АВС. Таким образом, в соответствии с (1.4) угловой деформацией в точке А в плоскости АВС называют предел разности углов ВАС и В₁А₁С₁ при устремлении точек В и С к точке А.

1.5. Закон Гука и основные принципы сопротивления

материалов

1.5.1. Закон Гука

Основные свойства материала или его математическая модель в сопротивлении материалов определены законом, открытым в 1676 году английским механиком Робертом Гуком, который экспериментально установил, что удлинение струны прямо пропорционально величине подвешенного на ней груза. Согласно закону Гука в пределах упругости перемещение S пропорционально вызвавшей его нагрузке Р:

, (1.5)

где к – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала, формы тела, положений точки приложения нагрузки и точки, перемещение которой определяется.

Закон Гука является приближенным. Для одних материалов, например, для стали, его можно считать достаточно точным, а для других, например, для чугуна, его можно принять только в грубом приближении.

В современной трактовке закон Гука устанавливает пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям. Именно в такой форме закон Гука и будет использован нами в дальнейшем.

1.5.2. Принцип независимости действия сил

(принцип суперпозиции)

Принцип независимости действия сил непосредственно следует из закона Гука и является одним из основных принципов (основополагающих утверждений) сопротивления материалов.

Согласно принципу суперпозиции перемещения, деформации и напряжения, возникающие в упругом теле при действии на него системы нагрузок, не зависят от порядка приложения нагрузок и равны суммам перемещений, деформаций и напряжений от действия каждой из нагрузок в отдельности.

Принцип независимости действия сил позволяет свести сложную задачу к ряду простых, и в дальнейшем он широко используется при рассмотрении сложного сопротивления.

1.5.3. Принцип начальных размеров

В сопротивлении материалов рассматриваются малые по сравнению с размерами тела перемещения.

Согласно принципу начальных размеров в случае малых деформаций и перемещений при составлении уравнений равновесия тело можно рассматривать как жесткое, имеющее начальную форму и размеры.

1.5.4. Принцип Сен-Венана

Согласно принципу, введенному французским механиком Барри Сен-Венаном, в точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации не зависят от способа приложения нагрузки.

В соответствии с этим принципом характер приложения нагрузки влияет на распределение деформаций и напряжений лишь в области, распространяющейся на величину порядка ширины сечения. В дальнейшем будем считать, что эта область исключена из рассмотрения.

Применение изложенных упрощающих гипотез и принципов позволяет получить приближенные решения целого ряда задач, которые очень сложно, а иногда и невозможно, решить в строгой постановке. Проверка достоверности решений, получаемых с использованием введенных гипотез и принципов, осуществляется путем сопоставления расчета и эксперимента.