3.29. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Рассмотрим функцию , непрерывную на отрезке . По известной теореме такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо в точках экстремумов, либо на граничных точках отрезка .

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на :

1) найти критические точки первого рода функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка в точках и ;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция на отрезке не имеет критических точек, то в этом случае функция является монотонной, и свое наибольшее и наименьшее значения принимает на разных концах отрезка . Если же функция имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример 5.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функций на отрезке .

Решение. Находим критические точки данной функции приравняв производную нулю: . Критическими точками оказались и . Находим значения функции в критических точках , и на границах отрезка , : , , , . Функция приняла на отрезке наибольшее значение при и наименьшее значение при .

3.30. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале , если любая касательная на этом интервале будет располагаться выше графика функции. График функции называется вогнутым на интервале , если любая касательная на этом интервале будет располагаться ниже графика функции.

Точки графика непрерывной функции , отделяющие участки вогнутости и выпуклости графика, называется точками перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью теоремы.

Теорема 1. Если функция в любой точке интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е.  , то график функции в этом интервале является выпуклым. Если же вторая производная положительная в любой точке интервала , то график функции является вогнутым на этом интервале.

Доказательство. Предположим, что на интервале  . Возьмем на графике функции произвольную точку с абсциссой и проведем через точку касательную. Докажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Сравним в точке ординату кривой и ординату касательной . Воспользуемся уравнением касательной

Тогда

По теореме о конечных приращениях

где лежит между и .

Поэтому

.

Выражение преобразуем по формуле Лагранжа:

где точка является некоторой внутренней точкой промежутка . В результате получаем:

Легко заметить, что если  , то  и  . Если же  , то  и  . В любом случае произведение  . Поскольку  , то  , поэтому во всех точках интервала ордината касательной больше ординаты графика, т.е. график функции является выпуклым. По аналогии доказывается, что при  график функции является вогнутым.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 2. Если в точке вторая производная непрерывной функции равна нулю или не существует, а при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка графика с абсциссой является точкой перегиба.

Доказательство. Пусть  при  и  при  . Значит, слева от точки график выпуклый, а справа от точки вогнутый. Поэтому точка графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если  при  и  при  , то точка является точкой перегиба графика функции .

Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода.

Пример 1. Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость.

Решение. Находим, что , . Вторая производная существует на всей числовой оси и обращается в нуль при и . Вторая производная положительна при , следовательно, на этих промежутках график является вогнутым. Вторая производная отрицательна при , где график функции является выпуклым. Точки и являются точками перегиба.