Шкала оценок знаний студентов по результатам тестирования:

Количество правильных ответов, в % к итогу	Оценка
Менее 50	Неудовлетворительно (2)
50 – 69	Удовлетворительно (3)
70 – 89	Хорошо (4)
90 – 100	Отлично (5)

Решение типовых задач

№ 1. Имеются следующие данные о рабочих-сдельщиках:

№ п/п	Стаж работы, лет	Выработка продукции, руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	1,0 1,0 3,0 6,5 9,2 4,4 6,9 2,5 2,7 16,0 13,2 14,0 11,0 12,0 4,5 10,5 1,0 9,0 9,0 6,5 5,0 6,0 10,1 5,5 2,5 5,0 5,3 7,5 7,0 8,0	200 202 205 290 298 250 280 230 223 310 284 320 295 279 222 276 234 270 264 252 241 256 262 245 240 244 252 253 252 262

Для изучения зависимости между стажем работы и выработкой рабочих произведем:

1) группировку рабочих по стажу, образовав 5 групп с равными интервалами. Каждую группу рабочих охарактеризуем:

• числом рабочих;

• средним стажем работы;

• величиной выработки продукции – всего и в среднем на одного рабочего.

2) комбинационную группировку по двум признакам: стажу работы и выработке продукции на одного рабочего.

Решение.

1) Применяя метод группировок для изучения взаимосвязи, необходимо прежде всего определить факторный признак, оказывающий влияние на взаимосвязанные с ним признаки. Таким признаком в нашем примере является стаж работы, который должен быть положен в основание группировки.

По условию требуется выделить 5 групп рабочих по стажу с равными интервалами. Сначала вычислим величину интервала группировочного признака (стажа работы):

где x_max = 16 – наибольшее значение признака;

x_min =1 – наименьшее значение признака;

n = 5 – число образуемых групп.

Для нашего примера величина интервала равна:

года.

Следовательно, первая группа рабочих имеет стаж 1 – 4 года; вторая – 4 – 7 и т. д.

Для построения и оформления результатов группировки составим предварительно макет таблицы, который заполним сводными групповыми показателями.

Таблица 1

Группировка рабочих по стажу работы

Группы, № п/п	Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Средний стаж работы, лет	Выработка продукции, руб.
				всего	на одного рабочего
А	Б	1	2	3	4
1 2 3 4 5	1 – 4 4 – 7 7 – 10 10 – 13 13 – 16
	Итого

для заполнения макета таблицы составим рабочую таблицу.

Таблица 2

Группы, № п/п	Группы рабочих по стажу, лет	Номер рабочего	Стаж, лет	Выработка продукции, руб.
А	Б	1	2	3
1	1 - 4	1 2 3 8 9 17 25	1,0 1,0 3,0 2,5 2,7 1,0 2,5	200 202 205 230 223 234 240
	Итого	7	13,7	1534
2	4 - 7	4 6 7 15 20 21 22 24 26 27	6,5 4,4 6,9 4,5 6,5 5,0 6,0 5,5 5,0 5,3	290 250 280 222 252 241 256 245 244 252
	Итого	10	55,6	2532
3	7 - 10	5 18 19 28 29 30	9,2 9,0 9,0 7,5 7,0 8,0	298 270 264 253 252 262
	Итого	6	49,7	1599
4	10 - 13	13 14 16 23	11,0 12,0 10,5 10,1	295 279 276 262
	Итого	4	43,6	1112
5	13 - 16	10 11 12	16,0 13,2 14,0	310 284 320
	Итого	3	43,2	914
Всего		30	205,8	7691

Групповые показатели рабочей таблицы и исчисленные на их основе средние показатели занесем в соответствующие графы макета таблицы и получим сводную аналитическую таблицу.

Таблица 3

Группировка рабочих по стажу работы

Группы, № п/п	Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Средний стаж работы, лет	Выработка продукции, руб.
				всего	на одного рабочего
А	Б	1	2	3	4
1 2 3 4 5	1 – 4 4 – 7 7 – 10 10 – 13 13 – 16	7 10 6 4 3	1,96 5,56 8,28 10,9 14,4	1534 2532 1599 1112 914	219,1 253,2 266,5 278,0 304,7
	Итого	30	6,86	7691	256,4

Сравнивая гр. 2 и 4 таблицы видим, что с увеличением стажа рабочих растет выработка продукции. Следовательно, между изучаемыми признаками (показателями) имеется прямая зависимость.

№2. За отчетный период предприятие выработало следующее количество мыла и моющих средств по видам:

Виды мыла и моющих средств	Количество произведенной продукции, кг
Мыло хозяйственное 72%-ной жирности Мыло хозяйственное (специальное) 60%-ной жирности Мыло хозяйственное 40%-ной жирности Мыло хозяйственное 80%-ной жирности Стиральный порошок 10%-ной жирности	1000 500 250 1500 2500

Требуется определить общее количество выработанной предприятием продукции в условно-натуральных единицах измерения. За условную единицу измерения принимается мыло 40%-ной жирности.

Решение.

Абсолютные величины в зависимости от задач исследования и от характера общественных явлений могут быть измерены в натуральных, условно-натуральных и денежных единицах. Пересчет натуральных единиц измерения в условно-натуральные производится с помощью специальных коэффициентов перевода.

Чтобы определить общее количество продукции, выработанной предприятием, необходимо исчислить коэффициенты перевода. Если условной единицей является мыло 40%-ной жирности, то оно принимается равным единице. Тогда коэффициент перевода в условное мыло (40%-ной жирности) исчисляются:

мыло хозяйственное 72%-ной жирности: 72 / 40 = 1,8;

мыло хозяйственное (специальное) 60%-ной жирности: 60 / 40 = 1,5;

мыло хозяйственное 80%-ной жирности: 80 / 40 = 2,0;

стиральный порошок 10%-ной жирности: 10 / 40 = 0,25.

Далее определим общий объем производства мыла и моющих средств по видам (учитывая перевод в условные единицы в 40%-ном исчислении):

Таблица 4

Производство продукции в условно-натуральном измерении

Виды мыла и моющих средств	Количество, кг	Коэффициент перевода	Количество продукции в условном исчислении, кг
Мыло хозяйственное 72%-ной жирности Мыло хозяйственное (специальное) 60%-ной жирности Мыло хозяйственное 40%-ной жирности Мыло хозяйственное 80%-ной жирности Стиральный порошок 10%-ной жирности	1000 500 250 1500 2500	1,8 1,5 1,0 2,0 0,25	1800 750 250 3000 625
Итого	-	-	6425

Общий объем производства мыла и моющих средств в 40%-ном исчислении составил 6425 кг.

№ 3. Имеются следующие данные о распределении рабочих по тарифным разрядам:

Тарифный разряд	2	3	4	5	6
Число рабочих	1	2	6	8	3

Определим: средний тарифный разряд; размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсию и среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации; моду и медиану.

Решение.

Необходимые расчеты для определения средней величины и показателей вариации представим в таблице:

Тарифный разряд, х	Число рабочих, чел., f	Сумма накопленных частот	хf	х –х	׀х –х׀ f	(х –х)2 f
1	2	3	4	5	6	7
2 3 4 5 6	1 2 6 8 3	1 3 9 17 20	2 6 24 40 18	- 2,5 - 1,5 - 0,5 0,5 1,5	2,5 3,0 3,0 4,0 4,5	6,25 4,50 1,50 2,00 6,75
Итого	20	-	90	-	17	21,00

Определим показатели:

1. Средний тарифный разряд: = = 4,5 разряда

2. Размах вариации: R = х_max – x_min = 6 – 2 = 4 разряда

3. Среднее линейное отклонение: 0,85 разряда

4. Дисперсия:

5. Среднее квадратическое отклонение: разряда

6. Коэффициент вариации: V = = = 22,7 %

7. Мода: в дискретных рядах модой является значение признака с наибольшей частотой, поэтому Мо = 5 разряд

8. Медиана: для ее вычисления необходимо определить сумму накопленных частот, составляющую половину общей суммы частот: Σf / 2 = 20 / 2 = 10. В графе 3 сумма накопленных частот, равная 17, соответствует пятому тарифному разряду, следовательно это и есть медиана: Ме = 5 разряд.

№ 4. Имеются следующие данные о распределении предприятий отрасли по количеству работников:

Группы предприятий по числу работников, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот, Σf
До 100 100 – 120 120 – 140 140 – 160 160 – 180 180 – 200 Свыше 200	2 12 15 64 55 32 20	2 14 29 93 148
Итого	200

Определим:

• моду и медиану;

• среднее число работающих и дисперсию способом моментов.

Решение.

1) В интервальных рядах распределения мода (Мо) и медиана (Ме) определяются по формулам:

где = 140 – начальное значение модального интервала;

= 20 – величина модального интервала;

= 64 – частота модального интервала;

= 15 – частота интервала, предшествующего модальному;

= 55 – частота интервала, следующего за модальным.

Следовательно,

чел.

где = 160 – начальное значение ряда, содержащего медиану;

= 20 – величина медианного интервала;

= 200 – сумма частот ряда;

= 93 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

= 55 – частота медианного интервала.

Следовательно,

чел.

2) Способ моментов основан на математических свойствах средней арифметической и дисперсии, применение которых значительно упрощает технику их вычисления, а для рядов распределения с равными интервалами сводится к формулам:

где

Определим среднюю величину и дисперсию по этим формулам, представив необходимые расчеты в таблице:

Таблица 5

Расчет средней величины и дисперсии способом моментов

Группы предприятий по числу работников, чел.	Число предприятий (f)	Середина интервала (х)
До 100 100 – 120 120 – 140 140 – 160 160 – 180 180 – 200 Свыше 200	2 12 15 64 55 32 20	90 110 130 150 170 190 210	-3 -2 -1 0 1 2 3	-6 -24 -15 0 55 64 60	18 48 15 0 55 128 180
Итого	200	-	-	134	444

Исчислим моменты первого и второго порядка (m₁ и m₂):

Средняя величина: чел.

Дисперсия:

№ 5. Имеются данные о продаже товаров в супермаркете за два месяца:

Товар	Продано товара, тыс. ед.		Средняя цена единицы товара, руб.
	июль	август	июль	август
А В	15,0 50,0	16,2 51,0	80 25	70 35

Вычислим:

1) индивидуальные индексы цен и количества проданного товара;

2) общий индекс товарооборота;

3) общий индекс физического объема товарооборота;

4) общий индекс цен и сумму экономии или перерасхода от изменения цен;

5) прирост товарооборота за счет изменения цен и количества продажи товаров.

Решение.

1) Индивидуальные индексы равны:

а) цен

б) количества проданных товаров

Так, для товара А индивидуальные индексы будут составлять:

Следовательно, средняя цена на товар А снизилась на 12,5%, а количество проданного товара выросло на 8%.

Соответствующие индексы для товара В будут составлять:

2) Общий индекс товарооборота исчисляется по формуле:

(119,1%).

Товарооборот в августе вырос на 19,1% по сравнению с июлем.

3) Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров)исчисляется по следующей агрегатной форме индекса:

(104,9%).

Это значит, что количество проданного товара в августе было на 4,9% больше, чем в июле.

4) Общий индекс цен равен:

(113,5%),

т.е. цены на оба товара в среднем выросли на 13,5%.

Экономический эффект (сумма сэкономленных или перерасходованных денег) за счет изменения цен исчисляется по данным общего индекса цен и равна:

тыс. руб.

Следовательно, в связи с ростом цен на 13,5% на данные виды товаров на их покупку в августе израсходовано на 348 тыс. руб. больше, чем в июле.

5) Прирост товарооборота исчисляется как разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота:

тыс. руб.

Этот прирост обусловлен изменением цен на товары и изменением количества проданных товаров. Прирост за счет изменения цен составил Δр = 348 тыс. руб., а за счет изменения количества проданных товаров:

тыс. руб.

Следовательно, увеличение товарооборота на 469 тыс. руб. произошло за счет роста цен на 348 тыс. руб. и роста количества проданного товара на 121 тыс. руб.:

тыс. руб.

Между исчисленными индексами существует взаимосвязь:

№ 6. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятия за 6 лет его работы (в сопоставимых ценах):

Годы	1	2	3	4	5	6
Производство продукции, млн. руб.	8,0	8,4	8,9	9,5	10,1	10,8

Исчислим аналитические показатели ряда динамики: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста, а также средние обобщающие показатели ряда динамики.

Решение.

В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты (Δу), темпы роста (Т) и темпы прироста (ТΔ) могут быть исчислены с переменной базой сравнения (цепные) и с постоянной базой сравнения (базисные).

1. Абсолютный прирост (Δу) – это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным). В общем виде абсолютный прирост равен:

цепной ;

базисный .

Результаты расчета показателей представлены в таблице 8, гр. 2, 3.

Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:

а) как средняя арифметическая простая годовых (цепных) приростов:

(млн. руб.);

б) как отношение базисного прироста к числу периодов:

(млн. руб.).

2. Темп роста (Т) – относительный показатель, характеризующий интенсивность развития явления. Он равен отношению изучаемых уровней и выражается в коэффициентах и процентах.

Цепной темп роста исчисляют отношением последующего уровня к предыдущему:

базисный – отношением каждого последующего уровня к одному уровню, принятому за базу сравнения:

Результаты расчета показателей представлены в таблице 8, гр. 4, 5.

Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической двумя способами:

1) или ,

где Т – цепные коэффициенты роста;

n – число коэффициентов;

П – знак произведения.

Следовательно,

(или 106,2%).

2) ,

где у₀ – начальный уровень;

у_n – конечный уровень.

(или 106,2%).

3. Темп прироста (ТΔ) – определяют двумя способами:

а) как отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню (цепные) - или базисному уровню (базисные) - .

б) как разность между темпами роста и единицей, если темпы роста выражены в коэффициентах: ТΔ = Т – 1; или как разность между темпами роста и 100%, если темпы роста выражены в процентах: ТΔ = Т – 100%.

Результаты расчета показателей представлены в таблице 8, гр. 6, 7.

Среднегодовой темп прироста исчисляется:

а) (если темп роста выражен в %);

б) (если темп роста выражен в коэффициентах).

4. Абсолютное значение одного процента прироста равно отношению абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному) (%):

Результаты расчета показателей представлены в таблице 8, гр. 8.

Расчет среднего абсолютного значения одного процента прироста за несколько лет производится по формуле:

(тыс. руб.)

5. Средний уровень для интервального ряда динамики исчислим по формуле средней арифметической простой:

(млн. руб.)

Исчисленные выше аналитические показатели ряда динамики представлены в таблице 6.

Таблица 6

Динамика производства продукции предприятия

Годы	Продук-ция в сопоста-вимых ценах, млн. руб.	Абсолютные приросты, млн. руб.		Темпы роста, %		Темпы прироста, %		Абсолют-ное значение одного процента прироста, тыс. руб.
		цепные	базисные	цепные	базисные	цепные	базисные
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1 2 3 4 5 6	8,0 8,4 8,9 9,5 10,1 10,8	- 0,4 0,5 0,6 0,6 0,7	- 0,4 0,9 1,5 2,1 2,8	- 105,0 105,9 106,7 106,3 106,9	100 105,0 111,2 118,7 126,2 135,0	- 5,0 5,9 6,7 6,3 6,9	- 5,0 11,2 18,7 26,2 35,0	- 80 84 89 95 101
Сред- ние	9,3	0,56		106,2		6,2		89,8

№ 7. Имеются следующие данные о товарообороте и уровне издержек обращения по 10 магазинам:

№ п/п	Товарооборот, тыс. руб.	Уровень издержек обращения, в % к товарообороту
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	75 90 120 150 180 220 300 450 600 800	10,0 9,2 8,1 7,8 7,9 7,0 6,1 5,8 5,3 5,0

Для изучения зависимости между размером товарооборота и уровнем издержек обращения построим уравнение регрессии; вычислим показатели, характеризующие тесноту связи.

Решение.

Связь между уровнем издержек обращения и размером товарооборота - обратная: с увеличением товарооборота уменьшается уровень издержек. В этом проявляется преимущество крупных фирм. Однако размер снижения непостоянный: он более быстрый вначале и существенно замедляется с ростом товарооборота. Это происходит потому, что в составе издержек обращения имеются два вида расходов. Переменные расходы, абсолютная сумма которых возрастает примерно пропорционально росту абсолютной суммы товарооборота, в процентах к товарообороту, т.е. по своему уровню с ростом товарооборота остаются неизменными (обозначим их уровень через а₀). Постоянные расходы возрастают в сумме медленнее, чем растет товарооборот, и уровень их снижается. Обозначим сумму этих расходов через а₁, а уровень через а₁/х. Тогда теоретическая форма зависимости уровня издержек обращения от размера товарооборота при условии функциональной связи определится в виде уравнения гиперболы:

Для нахождения параметров гиперболы способ наименьших квадратов дает систему двух уравнений:

Покажем выравнивание по гиперболе на примере анализа зависимости уровня издержек обращения от размера товарооборота:

Таблица 7

Выравнивание по гиперболе

№ п/п	Товаро-оборот, тыс. руб. (х)	Уровень издержек обращения (у)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	75 90 120 150 180 220 300 450 600 800	10,0 9,2 8,1 7,8 7,9 7,0 6,1 5,8 5,3 5,0	0,0133 0,0111 0,0083 0,0067 0,0056 0,0045 0,0033 0,0022 0,0017 0,0013	0,0001778 0,0001235 0,0000694 0,0000444 0,0000309 0,0000207 0,0000111 0,0000049 0,0000028 0,0000006	0,1333 0,1022 0,0675 0,0520 0,0439 0,0218 0,0203 0,0129 0,0088 0,0062	10,2 9,3 8,2 7,6 7,1 6,7 6,1 5,8 5,6 5,4
Сумма	-	72,2	0,0580	0,0004871	0,4789	-

Подставляя в уравнения для нахождения параметров гиперболы цифры из таблицы, получим:

Умножая второе уравнение на 172,4 , получаем:

10а₀ + 0,084а₁ = 82,6.

Вычитая из вновь полученного уравнения первое, имеем:

0,026а₁ = 10,4,

откуда

Подставляя значение а₁ в первое исходное уравнение, получаем:

10а₀ + 23,20 = 72,2;

10а₀ = 49,0,

откуда а₀ = 4,9.

Следовательно, уравнение связи имеет вид:

Подставляя в это уравнение значение х, получим теоретические уровни издержек обращения у_х, приведенные в последней графе таблицы 7. На графике наглядно представлено выравнивание эмпирической ломаной линии связи по гиперболе.

Рис. 1. График корреляционной зависимости между размером товарооборота (х) и уровнем издержек обращения (у)

То, что линия у_х не совпадает с линией у, говорит о том, что связь между у и х неполная, нефункциональная. Значит, чтобы измерить тесноту связи, т.е. определить, насколько она близка к функциональной связи, нужно прежде всего измерить дисперсию, измеряющую отклонения у от у_х и характеризующую остаточную вариацию, обусловленную прочими факторами. Разность между общей дисперсией, измеряющей отклонения у и у и дисперсией, измеряющей отклонения у и у_х, даст нам дисперсию, измеряющую вариацию, обусловленную фактором х. На сравнении этой разницы с общей дисперсией построен индекс корреляции (или теоретическое корреляционное отношение – R), который может использоваться для измерения тесноты связи при любой ее форме:

Рассчитаем общую и остаточную дисперсию по формулам:

Необходимые для вычисления дисперсии расчеты приведены в таблице:

Таблица 8

Расчет общей и остаточной дисперсии

№ п/п	х	у	ух
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	75 90 120 150 180 220 300 450 600 800	10,0 9,2 8,1 7,8 7,9 7,0 6,1 5,8 5,3 5,0	10,2 9,3 8,2 7,6 7,1 6,7 6,1 5,8 5,6 5,4	2,78 1,98 0,88 0,58 0,68 -0,22 -1,12 -1,42 -1,92 -2,22	7,7284 3,9204 0,7744 0,3364 0,4624 0,0484 1,2544 2,0164 3,6864 4,9284	-0,2 -0,1 -0,1 0,2 0,8 0,3 0 0 -0,3 -0,4	0,04 0,01 0,01 0,04 0,64 0,09 0 0 0,09 0,16
Итого	-	72,2	-	-	25,156	-	1,08

Тогда индекс корреляции будет равен:

Индекс корреляции характеризует очень тесную зависимость уровня издержек обращения (у) от размера товарооборота (х).

№ 8. Имеются следующие данные о распределении предприятий отрасли по производительности труда и себестоимости продукции:

Себестоимость	Производительность			Итого
	высокая	средняя	низкая
Высокая Средняя Низкая	9 21 35	13 27 10	28 22 5	50 70 50
Итого	65	50	55	170

С помощью коэффициента взаимной сопряженности Пирсона оценим связь между производительностью и себестоимостью продукции.

Решение.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона вычисляется по формуле:

где ² – показатель взаимной сопряженности.

Расчет коэффициента взаимной сопряженности производится по следующей схеме:

Таблица 9

Группы признака А	Группы признака В			Итого
	В1	В2	В3
А1 А2 А3	f1 f4 f7	f2 f5 f8	f3 f6 f9	n1 n2 n3
Итого	m1	m2	m3

где по первой строке:

по второй строке:

по третьей строке:

Расчеты для определения коэффициента взаимной сопряженности приведены в таблице:

Таблица 10

Себесто-имость	Производительность							ni
	высокая		средняя		низкая
Высокая Средняя Низкая	81 441 1225	1,25 6,78 18,85	169 729 100	3,38 14,58 2,00	784 484 25	14,25 8,80 0,45	18,88 30,16 21,30	50 70 50	0,38 0,43 0,43
Сумма	m1 = 65		m2 = 50		m3 = 55		-	170	1,24

Показатель взаимной сопряженности равен:

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона:

Значение коэффициента взаимной сопряженности Пирсона свидетельствует о наличии зависимости между производительностью труда и себестоимостью продукции.

№ 9. В результате проведения 10%-ного выборочного обследования предприятий сферы услуг получены следующие данные о распределении предприятий по стоимости основных производственных фондов:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	До 2	2 – 4	4 – 6	Свыше 6	Итого
Число предприятий	5	12	23	10	50

Требуется определить:

с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех предприятий генеральной совокупности;

с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб.;

каким должен быть объем выборочной совокупности при условии, чтобы предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0,997) была не более 0,5 млн. руб.; предельная ошибка доли (с вероятностью 0,954) была не более 15%.

Решение.

Предельная ошибка выборки (ошибка репрезентативности) исчисляется по формуле:

где μ – средняя ошибка репрезентативности;

t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.

Пределы возможной ошибки (Δ) определяются с вероятностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей:

Коэффициент доверия (коэффициент кратности ошибки)	Вероятность
t = 1 t = 2 t = 3	Р = 0,683 Р = 0,954 Р = 0,997

Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно случайной и механической выборки имеются формулы:

Повторная выборка при определении:

средней ошибки выборочной средней ;

средней ошибки выборочной доли .

Бесповторная выборка при определении:

средней ошибки выборочной средней ;

средней ошибки выборочной доли .

где N – численность генеральной совокупности;

n – численность выборочной совокупности;

σ² – дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в выборочной совокупности;

w – доля данного признака в выборке;

(1 – w) – доля противоположного признака в выборке.

1) Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить выборочную среднюю ( ) и дисперсию (σ²), расчет которых приведен в таблице:

Таблица 11

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Число предприятий, f	Середина интервала, х	хf
До 2 2 – 4 4 – 6 Свыше 6	5 12 23 10	1 3 5 7	5 36 115 70	-3,52 -1,52 0,48 2,48	12,39 2,31 0,23 6,15	61,95 27,72 5,29 61,50
Итого	50	-	226	-	-	156,46

Тогда

млн. руб.;

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:

а) при повторном отборе - млн. руб.;

б) при бесповторном отборе - млн. руб.

Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных производственных фондов, приходящейся на одно предприятие в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) всегда меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).

В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3.

Исчислим предельную ошибку выборочной средней (Δ_х):

млн. руб. (при повторном отборе);

млн. руб. (при бесповторном отборе).

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности, в общем виде может быть представлен следующим образом:

или

Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на одно предприятие генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах:

а) при повторном отборе или 4,27 млн. руб. ≤х ≤ 4,77 млн. руб.;

б) при бесповторном отборе или 4,28 млн. руб. ≤х ≤ 4,76 млн. руб.

Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997.

2) Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично установлению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом:

или ,

где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.

Доля предприятий в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. составляет:

или 66%.

Определяем предельную ошибку для доли. По условию задачи известно, что N = 500; n = 50; w = 0,66; Р = 0,954; t = 2.

Исчислим предельную ошибку доли:

а) при повторном отборе или 13,4%;

б) при бесповторном отборе или 12,7%.

Следовательно, с вероятностью 0,954 доля предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

р = 66% ± 13,4% или 52,6% ≤ р ≤ 79,4% при повторном отборе;

р = 66% ± 12,7% или 53,3% ≤ р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.

Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе.

3) Для нахождения численности случайной и механической выборки имеются следующие формулы:

	Повторный отбор	Бесповторный отбор
При определении ошибки среднего размера признака
При определении ошибки доли признака

При условии, что N = 500; Δ_х = 0,5 млн. руб.; σ² = 3,13; Р = 0,997; t = 3 найдем объем выборки для расчета ошибки средней:

а) при повторном отборе предприятий;

б) при бесповторном отборе предприятия.

При условии, что N = 500; Δ_w = 0,15; w = 0,66; Р = 0,954; t = 2 объем выборки для расчета ошибки доли будет равен:

а) при повторном отборе предприятий;

б) при бесповторном отборе предприятий.

Выводы:

1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку;

2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования;

3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.

№ 10. В городе А численность населения на начало года составляла 199 тыс. чел., а на конец года 201 тыс. чел. За год численность прибывших составила 1,7 тыс. чел., а численность выбывших 0,5 тыс. чел.

Определим коэффициенты естественного, механического и общего прироста населения.

Решение. Коэффициент механического прироста определим по формуле:

,

где П – число прибывших;

В – число выбывших;

– среднегодовая численность населения.

тыс. чел.

‰.

Коэффициент общего прироста равен:

‰.

Т.к. коэффициент общего прироста равен , то коэффициент естественного прироста рассчитаем: ‰.

Таким образом, за год естественный прирост населения составил 4 чел., прирост за счет миграции 6 чел., а за счет всех факторов – 10 чел. в расчете на каждую тысячу жителей.

№ 11. По данным предприятия определим индексы средней заработной платы переменного и постоянного состава, индекс влияния структурных сдвигов:

№ цеха	Прошлый год		Отчетный год
	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Численность рабочих, чел.	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Численность рабочих, чел.
1 2	4800 5980	40 52	6460 8290	45 60

Решение.

Сначала определим средний уровень заработной платы за каждый период:

По первому цеху: ;

По второму цеху: ;

Общее изменение средней заработной платы по предприятию характеризует индекс средней заработной платы переменного состава:

Индекс средней заработной платы постоянного (фиксированного) состава:

Влияние структурных сдвигов на динамику средней заработной платы:

Таким образом, повышение среднего уровня заработной платы в целом по предприятию вызвано ростом среднего заработка по каждому цеху. Изменения в структуре рабочих существенного влияния не оказали.

№ 12. По нижеследующим данным при помощи коэффициентов Лоренца и Джини определим, в какой стране дифференциация населения по доходу выше:

№ п/п	20% группы населения по уровню среднедушевого дохода (xi)	Доля дохода в совокупном доходе (уi)
		А	Б
1	0,2	0,104	0,080
2	0,2	0,152	0,133
3	0,2	0,191	0,181
4	0,2	0,238	0,245
5	0,2	0,315	0,361
Итого	1,0	1,000	1,000

Решение.

1) Предварительный анализ исходных данных позволяет сделать вывод о том, что в стране Б дифференциация населения по доходам несколько выше, чем в стране А. если в стране А 20% наиболее бедного населения владеет 10,4% совокупного дохода, а 31,4% совокупного дохода находится в руках 20% наиболее обеспеченных людей, то в стране Б эти показатели равны соответственно 8 и 36,1%.

2) Для построения кривой Лоренца и коэффициентов концентрации Лоренца и Джини необходимо произвести ряд дополнительных расчетов:

Таблица 11

20% группы населения по уровню среднедушевого дохода		Доля в совокупном доходе страны (уi)		Расчетные показатели для стран
xi	Cum xi	А	Б	А			Б
				Cum уi	xi уi	xiCumуi	Cum уi	xi уi	xiCumуi
0,2	0,2	0,104	0,080	0,104	0,0208	0,0208	0,080	0,0160	0,0160
0,2	0,4	0,152	0,133	0,256	0,0304	0,0512	0,213	0,0266	0,0426
0,2	0,6	0,191	0,181	0,447	0,0382	0,0894	0,394	0,0362	0,0788
0,2	0,8	0,238	0,245	0,685	0,0476	0,1370	0,639	0,0490	0,1278
0,2	1,0	0,315	0,361	1,000	0,0630	0,2000	1,000	0,0722	0,2000
1,0		1,000	1,000		0,2000	0,4984		0,2000	0,4652

Коэффициент Лоренца:

,

где - доля доходов, сосредоточенных в i-й группе населения;

- доля населения в i-й группе;

n – число групп населения.

Для страны А:

Для страны Б:

Коэффициент Джини:

,

где – кумулятивная доля доходов (доля доходов i-й группы в общей сумме доходов населения, исчисленная нарастающим итогом).

Для страны А:

Для страны Б:

Чем ближе величина коэффициентов Лоренца и Джини к единице, тем выше степень концентрации доходов. В стране Б уровень неравенства населения по доходу выше ( и ).