1.2.1 Представление чисел в прямом коде

Простейшим форматом, использующим знаковый разряд, является прямой код ( в английской транскрипции этот формат принято называть sign-magnitude representation – представление в виде абсолютной величины со знаком.

В n - разрядном двоичном слове в общем случае n-1 разрядов представляют абсолютную величину числа.

Пример 5.

(+18)₁₀ - 00010010₂

(-18)₁₀ - 10010010₂

Формат представления чисел в прямом коде неудобен для использования в вычислениях. Во-первых сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел выполняется по-разному, а поэтому требуется анализировать знаковые разряды всех используемых операндов. Во-вторых, в прямом коде числу 0 соответствуют две различные кодовые комбинации:

(+0)₁₀ - 00000000

(-0)₁₀ - 10000000.

Это серьезно усложняет анализ результата вычислений на равенство нулю, а такая операция в программах встречается достаточно часто.

В связи с этим при реализации в арифметическом и логическом устройстве (АЛУ) арифметических операций над целыми числами практически применяется дополнительный код.

1.2.2 Представление чисел в дополнительном коде

Как и в прямом, в дополнительном коде старший разряд в разрядной сетке (регистре)отводится для представления знака числа (0 число положительное , 1 – число отрицательное). Остальные же разряды интерпретируются совершенно по другому.

Дополнительный код получают из прямого через промежуточный обратный код.

Обратный код образуется по следующему правилу:

- обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.

- обратный код отрицательного числа всегда содержит единицу в знаковом разряде, а значащие разряды обратного кода получаются из значащих разрядов прямого кода путем их поразрядного инвертирования (замены единиц нулями, нулей – единицами).

Пример 6.

A₁₀ = +5 ; A₂ = +101; [A₂]_ОК = [A₂]_ПК = 0:101;

B₁₀ = -14 ; A₂ = -1110; [A₂]_ОК = 1:0001.

В примере 6 знаковый разряд от значащих отделен символом «:».

Обратный код обладает следующими свойствами:

- сложение положительного числа С с его отрицательным значением в обратном коде дает, так называемую, машинную единицу МЕок (1:11...1).

Пример 7.

A₁₀ = +5 ; A₂ = +101; [A₂]_ОК = [A₂]_ПК = 0:101;

A₁₀ = -5 ; A₂ = -101; [A₂]_ОК = 1:010;

0:101

1:010

1 :111 ;

- нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может принимать как положительное значение 0:00...0, так и отрицательное – 1;11...1, причем значение отрицательного нуля совпадает со значением машинной единицы.

Двойственность нуля явилась основной причиной того, что обратный код в чистом виде в качестве машинного кода не применятся, а используется только как промежуточный для получения дополнительного кода из прямого.

Дополнительный код образуется по следующему правилу:

- дополнительный код положительного числа совпадает с прямым (и обратным) кодом;

- дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с числом 00...1 (2⁰ – для целых чисел или 2^-k –для дробных).

Пример 8.

A₁₀ = +19; A₂ = +10011; [A₂]_ОК = [A₂]_ПК = 0:10011;

B₁₀ =-14; A₂=-1110; [A₂]_ДК = [A₂]_ОК + 2⁰ = 1:0001 + 0:0001=1:0010.

Дополнительный код обладает следующими свойствами:

- сложение положительного числа С в дополнительном коде с его отрицательным значением дает машинную единицу дополнительного кода

МЕ_ДК = МЕ_ОК + 2⁰ = 10:00...00,

т.е число 10₂ в знаковых разрядах числа;

- представление отрицательных чисел в дополнительном коде по сути является дополнением прямого кода числа до машинной единицы МЕ_ДК.

Кроме обычного дополнительного кода в качестве машинных кодов находят применение модифицированные дополнительные коды, которые также образуются из прямого с использованием промежуточного, но не обратного, а модифицированного обратного кода. Модифицированные коды отличаются от обычных удвоением числа знаковых разрядов. Знак «+» в этих кодах кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а знак «-» - двумя единичными разрядами.

Пример 9.

A₁₀ = + 9; A₂ = + 1001; [A₂]_ПК = [A₂]_ОК = [A₂]_ДК = 0:1001

[A₂]_МДК = [A₂]_МОК = 00:1001

В₁₀ =-9; В₂ =-1001; [В₂]_ПК =1:1001;

[B₂]_ОК=1:0110;[В₂]_ДК = + [B₂]_ОК + 0001 = 1:0111

[В₂]_МOК = 11:0110; [A₂]_МДК = 11:0111.

Цель введения модифицированного дополнительного кода – обнаружение случаев получения неправильного результата, когда его значение превышает возможности разрядной сетки. В этом случае в немодифицированных кодах перенос из старшего значащего разряда может исказить значение знакового разряда (превратить число из положительного в отрицательное и наоборот).

При использовании же модифицированных кодов значение знаковых разрядов «01» свидетельствует о положительном, а значение «10» об отрицательном переполнении разрядной сетки и позволяет обнаружить ошибки вычислений.

Другой путь решения этой задачи (обнаружение переполнения разрядной сетки) - фиксация переносов из старшего значащего разряда в специальном разряде особого регистра (регистра «флагов»).

Представление 4-разрядных целых положительных и отрицательных чисел в прямом и дополнительном коде показано в табл.1.

Таблица 1 – Представление чисел в прямом и дополнительном кодах

Десятичное представление	Прямой код	Дополнительный код	Смещенное представление
+7	0:111	0:111	1111
+6	0:110	0:110	1110
+5	0:101	0:101	1101
+4	0:100	0:100	1100
+3	0:011	0:011	1011
+2	0:010	0:010	1010
+1	0:001	0:001	1001
+0	0:000	0:000	1000
-0	1:000	-	0111
-1	1:001	1:111	0110
-2	1:010	1:110	0101
-3	1:011	1:101	0100
-4	1:100	1:100	0011
-5	1:101	1:011	0010
-6	1:110	1:010	0001
-7	1:111	1:001	0000
-8	-	1:000	-