V. Оборотный маятник.
Частным случаем физического маятника является оборотный ма-
ятник. Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника основано на свойстве взаимности точки подвеса и центра качания: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.
Ранее было получено соотношение:
T =
связывающее период Т малых колебаний физического маятника с его моментом инерции J относительно оси качаний О, массой m маятника,
расстоянием L от оси качания до центра масс и ускорением силы тяжести g (рис.4). Т.о соотношение (18) может быть использовано для определения g. Для этого необходимо измерить Т, J и L и выразить через них g с помощью формулы (18). Оказывается, однако, что с высокой точностью можно измерить только период колебаний Т маятника, а величины J и L достаточно точно измерить не удаётся. Например, для нахождения расстояния L от оси качаний до центра масс маятника необходимо предварительно определить положение центра масс, что сделать точно довольно трудно.
рис. 4
Достоинством метода оборотного маятника для определения ускорения свободного падения является то, что J и L не входят в
расчётную формулу для g. Перейдём к обсуждению этого метода.
Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции маятника относительно оси качаний О:
J = J0 + mL2 , (19)
где J0 - момент инерции маятника относительно оси, параллельной
оси качаний и проходящей через центр масс С маятника, L - расстояние между точками О и С.
Подставляя (19) в (18), получаем:
(20)
Обсудим качественно характер зависимости периода колебаний от расстояния до оси качаний. При очень малых L момент силы тяжести M = - m g L sin Ө (рис.4.), стремящийся вернуть маятник в положение равновесия, становится очень малым и период колебаний
резко возрастает. В пределе L → 0 момент силы тяжести равен нулю
и колебания вообще невозможны: маятник находится в положении равновесия. Это согласуется с формулой (20): при L → 0 период
В обратном пределе очень больших L можно пренебречь J0 посравнению с mL2 и рассматривать физический маятник как математический с длиной подвеса L. В этом случае период колебаний
T =
При возрастании L период Т сначала убывает до некоторого минимального значения
Тm = Тmin, а затем снова неограниченно возрастает при L→0: см (20).
Период минимален при
Качественно вид Т(L) изображён на рис.5. Значению L = 0 соответствует центр масс маятника. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то зависимость Т(L) будет точно такой же. Поэтому график Т(L) имеет две симметричные ветви, соответствующие положению точки подвеса маятника слева и справа от его центра масс. По каждую сторону от центра масс маятника имеется по два положения опорных призм, при которых периоды колебаний маятника совпадают.
рис 5.
Но в случае, когда Т = Тmin таких точек по одной от центра масс, причем L1 = L2 .
В данной установке оборотный маятник представляет собой стальной стержень , на котором находятся два подвижных груза A и B (рис.6). Две легкие опорные призмы П1 и П2 могут перемещаться по стержню и фиксироваться винтами в разных его точках. Маятник совершает колебания в вертикальной плоскости. Перемещая по стержню грузы, можно изменять период колебаний маятника.
рис 6.
Попробуем найти такие два положения L1 и L2 опорных призм по разные стороны от центра масс, чтобы периоды колебаний маятника совпадали:
Т(L1) = Т(L2).
Как видно из (20), для этого необходимо выполнение равенства
Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле
Как видно из (23), для нахождения g достаточно измерить
только две величины: расстояние L0 = L1 + L2 между рёбрами опорных призм и период колебаний маятника T в положении L1 и в "перевёрнутом" положении L2, таком, чтобы T = T1 = T2.
VI. Измерения.
1. Повернуть верхний кронштейн на 180o.
Зафиксировать грузы на стержне не симметрично, т.о., чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его середины.
Опорные призмы маятника закрепить по обеим сторонам центра тяжести полученной по вышеуказанному способу системы таким образом, чтобы они были обращены друг к другу вершинами. Одну из них поместить вблизи свободного конца стержня, а вторую на половине расстояния между грузами.
2. Установить маятник на вкладыше верхнего кронштейна на призме, находящейся вблизи конца стержня.
Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком переместить таком образом, чтобы стержень маятника пересекал оптическую ось.
Отклонить маятник на 4-5o от положения равновесия и отпустить.
Нажать <СБРОС>.
После подсчёта измерителем N колебаний ( N=10_20 ) нажать
кнопку <СТОП>.
По формуле (9) определить период оборотного маятника T1.
3. Снять маятник и закрепить его на второй призме.
Нижний кронштейн с фотоэлектрическим датчиком переместить таким образом, чтобы маятник пересекал оптическую ось.
Отклонить маятник на 4-5o от положения равновесия, аналогич-
но п.2 измерить T2 и сравнить с T1; если T2>T1, то вторую призму
переместить в направление груза, находящегося в конце стержня,
если же T2<T1 - то в направлении середины стержня.
Положение грузов и первой призмы не менять!
Повторно измерить период T2 и сравнить с величиной T1.
Изменять положение второй призмы до момента получения равновесия T2 = T1 с точностью до 0.5%.
Определить приведённую длину оборотного маятника L0.
4. По формуле (23) найти величину g.
5. В реальных опытах не удаётся вполне точно выровнять величины Т1 и Т2, что приводит к погрешности определения g. При этом возникает вопрос, какое же значение следует подставлять в формулу (23)? При Т1 ~ Т2 эта погрешность не очень существенна, но при неблагоприятных условиях опыта может сильно возрастать. Как нетрудно убедиться, Т лежит не между Т1 и Т2, а вне этих значений. Доказательство высказанных здесь утверждений мы представляем читателю. Чтобы определить величины L1 и L2 придумайте простой способ, позволяющий найти центр тяжести маятника.
Контрольные вопросы.
1. Какому методу измерений ускорения силы тяжести вы отдаёте предпочтение? Почему?
2. Как влияют на точность опытов колебания температуры, сила трения, амплитуда колебаний маятника?
3. Выведите формулу (6') для периода нелинейных колебаний математического маятника.
4. От чего зависит величина ускорения силы тяжести?
5. Где и для каких целей используются маятники?
6. Рассмотрите оборотный маятник, имеющий вид тонкого однородного стержня длины L с двумя невесомыми подвижными призмами. Как в этом случае будет зависеть величина Dg/g от положения призм относительно центра тяжести маятника? Какое расположение призм кажется вам более разумным? Оцените значения Т и ∆Т, соответствующие величине Dg/g = 5710-2, а также время, необходимое для проведения эксперимента с заданной точностью.
7. Сформулируйте теорему Гюйгенса.
8. Что называется приведенной длиной физического маятника?
9. При каком условии точка подвеса и центр качания физического маятника расположены симметрично относительно его центра
масс?
10. При каком расстоянии от опорной призмы до центра масс период колебаний маятника минимален?
11. Покажите, что точка опоры маятника и точка его качания лежат по разные стороны от центра масс.
Литература.
1. Савельев И.В. Курс общей физики,т.1.Механика, колебания и волны, молекулярная физика, "Наука", 1965.
2. Стрелков С.П. Механика, "Наука",1965.
3. Хайкин С.Э, Физические основы механики, "Наука", 1971.
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики., Т.1, Механика., М.,
1989.
5. Лабораторные занятия по физике, под ред. Л.Л.Гольдина,
М., 1983.