Тригонометричні функції половинного аргументу.

Запишемо дві відомі формули

cos2x = cos²x - sin²x, 1 = cos²x +sin²x.

Якщо ці формули матимуть вигляд

Додаючи почленно ці дві рівності і віднімаючи від другої рівності першу, дістанемо такі дві формули:

Записавши їх відносно квадратів функцій, матимемо формули половинного аргументу для квадратів синуса і косинуса

Звідси

Ці формули дають змогу замінити квадрати тригонометричних функцій на перші степені функцій. Тому їх називають також формулами пониження степеня.

Поділимо почленно дві передостанні рівності, дістанемо формули для квадрата тангенса і котангенса половинного аргументу.

Звідси

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій. Ці формули дають змогу виражати суму й різницю однойменних тригонометричних функцій через добуток тригонометричних функцій і навпаки.

Щоб перетворити суму sinα+sinβ у добуток, позначимо α=х+у, β= х-у і використаємо формули додавання для синуса sinα+sinβ=sin(х+у)+sin(х-у)= =sinхcosу+cosхsinу+sinхcosу-cosхsinу=2sinхcosу.

Враховуючи введене позначення, розв’яжемо систему

відносно х і у. Дістанемо

Отже, (11)

Замінюючи у формулі (11) β на –β і враховуючи непарність синуса, дістанемо Так само знаходимо

Отже,

Тобто, (12)

Користуючись означенням цієї функції, знайдемо суму й різницю тангенсів.

Отже,

(13)

(14)

Домашнє завдання.

Р.І; §10, с.87 №52 (1-7), 53 (рів.А диф.), 54 (1,2).

Лекція № 49

Тема: Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій.

План:

1. Поняття періодичності функції

2. Найменший додатній період функцій y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

3. Побудова графіків тригонометричних функцій

4. Властивості тригонометричних функцій

До поняття періодичної функції приводять періодичні процеси, у яких стан певних змінних повторюється. Прикладами таких процесів є рух колінчастого вала і поршня у двигунах внутрішнього згоряння, різні обертальні рухи та ін.

Н а малюнку 1 зображено простий пристрій, який перетворює обертальний рух у прямолінійний. Колесо, яке обертається і насажене на вісь, з’єднане за допомогою «пальця» Р з рамкою R. При обертанні колеса «палець» Р здійснює обертальний рух, захоплює за собою рамку R, яка рухається вздовж бічних напрямних станин, і здійснює прямолінійний періодичний рух (якщо колесо обертається рівномірно). Якщо позначити ОР=r, а точку дотику рамки до станин – Р₁, то шлях О₁Р₁ кінця рамки змінюватиметься залежно від зміни кута α, який утворює радіус кола з горизонтальним діаметром. Оскільки О₁Р₁ = АР = r sin α, то, позначивши О₁Р₁ через у, дістанемо у = r sin α, тобто періодичну функцію. Через кожний оберт колеса (через 2π) положення точки Р повторюється. Тому найменший додатний період функції у = r sin α дорівнює 2π.

Функція у = f (х) називається періодичною з періодом Т≠0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа х + Т та х – Т також належать області визначення і виконується умова f (х–Т) = f (х) = f (х+Т).

Неважко довести, що коли Т – період функції у = f (х), то всі числа виду nТ, де також є періодами функції.

Справді, застосовуючи кілька разів означення періодичності функції, дістанемо f (х+3Т) = f ((х+2Т)+Т) = f (х+2Т) = f ((х+Т)+Т) = f (х+Т) = f (х).

Використовуючи означення синуса, косинуса числового аргументу та враховуючи їх геометричну інтерпретацію на одиничному колі, маємо

Будь-яке число виду 2nπ, де є періодом синуса і косинуса.

Використовуючи лінії тангенсів і котангенсів, неважко зробити висновок, що Це ж саме можна довести, користуючись означенням тангенсів і формулами зведення

Будь-яке число виду nπ, де є періодом тангенса та котангенса.

Д оведемо, що найменшим додатним періодом синуса та косинуса є число 2π, а тангенса – число π.

Доведення виконаємо методом від супротивного.

1) Вище було показано, що число 2π є періодом синуса. Припустимо, що існує додатне число l<2π таке, що sin(x+l)=sinx. Нехай тоді Але синус може дорівнювати 1 лише в точці (мал.2), яка відповідає на одиничному колі числам де Отже, звідки Проте, за припущенням 0<l<2π, тобто 0<2πn<2π. Поділивши всі частини подвійної нерівності на 2π, дістанемо 0<n<1, що суперечить умові, оскільки а між 0 і 1 немає жодного цілого числа.

Отже, припущення неправильне, π – найменший додатний період тангенса.

Самостійно доведіть, що найменшим додатним періодом косинуса є 2π, а котангенса – число π.

Н е слід думати, що періодичними є лише тригонометричні функції. Прикладом періодичної є функція у={x} (у дорівнює дробовій частині х) (мал.3). Найменшим додатним періодом цієї функції є число 1.

Лінійна функція y=kx+b є періодичною при k=0. Для неї періодом є будь-яке дійсне число Т≠0, оскільки f (х+Т) = f (х) = b. Найменшого додатного періоду ця функція не має.

За найменшим додатним періодом тригонометричних функцій y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx можна знайти найменший додатний період складеної тригонометричної функції, проміжним аргументом якої є, зокрема, лінійна функція.

Приклад 1. Знайти найменший додатний період функції y=sin(kx+b), де k, b – числа.

Розв’язання. Нехай Т>0 – шуканий період. За означенням періодичної функції

sin(k(x+T))+b=sin(kx+b),

або

sin(kx+kT+b)=sin(kx+b).

Позначимо х₁=kx+b і підставимо значення х₁ замість kx+b в останню рівність. Дістанемо sin(х₁+kT)=sin х₁.

Оскільки найменшим додатним періодом синуса є 2π, то |k|·T=2π, звідки

Користуючись здобутим результатом, можна стверджувати, що найменшим додатним періодом функції y=sin2x є функції функції

Спираючись на властивість періодичності тригонометричних функцій, можна знаходити значення функцій будь-якого аргументу через значення функцій аргументу 0<x<2π для синуса і косинуса і 0<x<π – для тангенса і котангенса.

Приклад 2. Звести до однойменних функцій гострого кута:

1) cos 1827°; 2) tg 978°; 3) sin (-800°); 4) ctg 1305°; 5) sin

6) tg 7) ctg

Розв’язання

1. cos 1827° = cos (360°·5+27°) = cos 27°;

2. tg 978° = tg (180°·5+78°) = tg 78°;

3. sin (-800°) = sin (360°·(-2)-80°) = sin (-80°);

4. ctg 1305° = ctg (180°·7+45°) = ctg 45° = 1;

5. 6)

7)

Приклад 3. Обчислити значення тригонометричних функцій:

1) cos 1125°; 2) cos (-315°); 3) tg 4) cos

Розв’язання.

1. cos 1125° = cos (360°·3+45°) = cos 45° = ;

2. sin (-315°) = sin (-360°+45°) = sin 45° = ;

3. 

4.