ВАРИАНТ № 24
Задача 1. Элементы теории погрешностей.
Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (Δ и δ), если считать в исходных данных все значащие цифры верными.
Решение.
По условию:
, , , , , .
Вычисляем:
.
Максимальное значение произведения:
.
Минимальное значение произведения:
.
Вычисляем абсолютную погрешность произведения:
.
Относительная погрешность:
.
Ответ. , .
Задача 2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
а) Найти решение СЛАУ , где – матрица коэффициентов, – вектор свободных членов, – вектор неизвестных, методом Гаусса (с выбором главного элемента по строке, с выбором главного элемента по столбцу, с выбором главного элемента по всей матрице). Заданы матрица и вектор . При поиске решения (в MathCAD) показать все промежуточные вычисления в прямом и обратном ходе указанных прямых методов. Полученное (приближенное) решение сравнить с решением этой СЛАУ в MathCAD вычислительным блоком Given…find (расчет провести в численном виде). Зарисовать блок-схему алгоритма указанного в варианте метода решения СЛАУ при условии произвольного количества уравнений (задаются матрица и вектор ).
,
Решение.
Блок-схема алгоритма – решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице:
- функция , с помощью которой выбираем главный элемент по столбцу и меняем строки:
- функция , с помощью которой выбираем главный элемент по строке и меняем столбцы и перенумеровываем переменные:
- шаг прямого хода метода Гаусса () и обратный ход метода Гаусса ():
- главная программа:
Последовательность вычислений:
Решение задачи в MathCAD с помощью блока Given..Find:
Задача 3. Приближение функций.
Часть 1.
в) По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) осуществить интерполяцию с помощью интерполяционного полиномома Ньютона (вид записи - интерполяция назад).
Построить в MathCAD в одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.
Зарисовать блок-схему алгоритма, реализующего вычисление значения интерполяционного полинома Ньютона (назад) в любом значении аргумента при условии произвольного количества узловых значений исходной функции.
Часть 2.
По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) записать систему линейных алгебраических уравнений для расчета коэффициентов кубического сплайна со свободным закреплением концов. Решить полученную систему в MathCAD вычислительным блоком Given…find, записать функцию , реализующую рассчитанный кубический сплайн, считая, что за границами рассматриваемого диапазона изменения аргумента изменение функции осуществляется соответственно по начальному и конечному частям сплайна. Построить в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции.
Часть 3.
По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) методом наименьших квадратов построить аппроксимирующий многочлен , где
φi(x)=xi. Условия построения аппроксимирующего многочлена методом наименьших квадратов дают систему линейных алгебраических уравнений (в количестве m+1) относительно неизвестных . Записать указанную систему уравнений и решить её в MathCAD с помощью вычислительного блока Given…find. Отобразить в одном графическом шаблоне полученный аппроксимирующий многочлен Pm(x) и узловые значения исходной функции. Рассчитать величину (среднеквадратичного отклонения) для полученного аппроксимирующего обобщённого многочлена.
, , ,
Часть 4.
Для указанной функции g(x) и рассматриваемого интервала сформировать в MathCAD в виде ранжированных переменных N отсчётных значений X1l и Y1l=g(X1l) (l=, h – шаг между точками в интервале . Выполнить следующие виды приближений таблично заданной функции при условии:
, , , , lnfit
а) Реализовать в MathCAD по рассчитанным узловым значениям (векторы X1 и Y1) кусочно-линейную интерполяцию (функция linterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функции lspline, pspline, cspline, interp). Отобразить в одном графическом шаблоне исходную функцию g(x), узловые значения (векторы X1 и Y1) и четыре полученные интерполяционные функции.
б) По узловым значениям (векторы X1 и Y1) реализовать в MathCAD В-сплайн интерполяцию с различными степенями заменяющих полиномов (n=1,2,3), выбрав самостоятельно векторы точек сшивок U. В одном графическом шаблоне отобразить исходную функцию g(x) , узловые значения (векторы X1 и Y1), три интерполяционные функции В-сплайнов и соответствующие им точки сшивок.
в) По узловым значениям (векторы X1 и Y1) реализовать в MathCAD линейную аппроксимацию (функции line, medfit), полиномиальную аппроксимацию (функцию regress (в задании даны степени аппроксимирующих полиномов) и loess (параметр span выбрать самостоятельно)), аппроксимацию функциями специального вида ( в задании указана lnfit ). Отобразить в одном графическом шаблоне исходную функцию g(x), узловые значения (векторы X1 и Y1) и полученные аппроксимирующие функции; для всех аппроксимирующих функций рассчитать величину среднеквадратичного отклонения ().
Решение.
Строим интерполяционный полином Ньютона (вид записи – интерполяция назад):
.
Разделенными разностями первого порядка, составленными по соседним узлам, называют отношения
По ним можно определить разделенные разности второго порядка
Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка. Например, если известны разделенные разности -го порядка, то разделенная разность -го порядка определяется как
.
Вычисления производим в MathCAD:
Построим в MathCAD в одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.
Блок-схема алгоритма, реализующего вычисление значения интерполяционного полинома Ньютона (назад) в любом значении аргумента при условии произвольного количества узловых значений исходной функции:
По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) запишем СЛАУ для расчета коэффициентов кубического сплайна со свободным закреплением концов.
Известно, что при кубическом сплайне между парой соседних узлов интерполяции имеем кубический многочлен вида
Для определения коэффициентов , , , на всех отрезках записывают и решают линейных уравнений из условия непрерывности функции
непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции
и условия свободного закрепления концов
В нашем случае имеем:
Решаем эту систему в MathCAD вычислительным блоком Given…find:
Получаем:
Запишем функцию , реализующую рассчитанный кубический сплайн, считая, что за границами рассматриваемого диапазона изменения аргумента изменение функции осуществляется соответственно по начальному и конечному частям сплайна:
Построим в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции:
По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) методом наименьших квадратов определим коэффициенты аппроксимирующего обобщенного многочлена , где φi(x) - система базисных функций (в задании даны степенные функции xi ). Согласно метода наименьших квадратов коэффициенты определяются из условия
. (1)
При поиске минимального значения необходимое и достаточное условие
(2)
дает систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Запишем систему (2) и решим ее в MathCAD вычислительным блоком Given…find.
Экстремальная задача примет вид:
.
Параметры искомой зависимости находятся из системы:
Отобразим в одном графическом шаблоне полученный аппроксимирующий обобщенный многочлен и узловые значения исходной функции:
Величина для полученного аппроксимирующего обобщенного многочлена:
а) Реализуем в MathCAD по рассчитанным узловым значениям (векторы и ) кусочно-линейную интерполяцию (функция linterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функции lspline, pspline, cspline, interp). Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию , узловые значения (векторы и ) и четыре полученные интерполяционные функции.
б) По узловым значениям (векторы и ) реализовать в MathCAD В-сплайн интерполяцию с различными степенями заменяющих полиномов (), выбрав самостоятельно векторы точек сшивок . В одном графическом шаблоне отобразить исходную функцию , узловые значения (векторы и ), три интерполяционные функции В-сплайнов и соответствующие им точки сшивок.
Графики:
в) По узловым значениям (векторы и ) реализуем в MathCAD линейную аппроксимацию (функции line, medfit), полиномиальную аппроксимацию (функции regress (в задании даны степени аппроксимирующих полиномов) и loess (параметр span выбрать самостоятельно)), аппроксимацию функциями специального вида (в задании указана из функция lnfit).
Для всех аппроксимирующих функций рассчитаем величину среднеквадратичного отклонения ().
Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию , узловые значения (векторы и ) и полученные аппроксимирующие функции.
Задача 4. Численное интегрирование функций.
В MathCAD вычислить интеграл указанным численным методом – методом Симпсона при заданном количестве разбиений интервала интегрирования (шаг интегрирования ) и оценить погрешность применения данной составной квадратурной формулы.
Для вычисления интеграла по указанному методу написать в MathCAD функцию пользователя, в которой входным параметром является количество разбиений интервала интегрирования, имя подынтегральной функции и пределы интегрирования. Отобразить функции , и (в соответствии с применяемыми методами) на интервале . По оценке погрешности составной квадратурной формулы интегрирования указанным методом рассчитать количество требуемых интервалов разбиения для вычисления интеграла с заданной точностью ε. Вычислить интеграл с этой точностью.
, , ,
Решение.
Разбиение интервала задается следующим образом:
.
Для вычисления интеграла методом Симпсона воспользуемся формулой:
Составим в MathCAD функцию пользователя и вычислим интеграл при разных количествах разбиений:
В методе Симпсона (по удвоенным частичным отрезкам) – оценка погрешности соответственно
,
где .
Вычисляем максимальное значение модуля четвертой производной на данном отрезке:
Оценки погрешности для каждого :
Строим графики функций и :
Находим необходимое количество интервалов для достижения заданной точности: