ВАРИАНТ №3 Контрольная работа №2
.docВАРИАНТ №3
Контрольная работа №2
Задание 1,2 – я решал и уверен, что решил неверно.
Задание 3
Даны два линейных преобразования. Средствами исчисления найти преобразование, выражающие через
Решение:
Первое линейное преобразование
имеет матрицу ,
а второе
имеет матрицу .
Тогда произведение линейных преобразований имеет матрицу C=B▪A
C=B▪A=
Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид
Задание 4.
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы
Pn(λ)= = (-1- λ)((4- λ)(6- λ)-3▪5)+2(0▪(6- λ)-3▪0)+12(0▪5-(4- λ)▪0)=
=(-1- λ)(24-4λ-6λ+ λ2-15)=(-1- λ)( λ2-10λ+9)=0
-1- λ=0 λ2-10 λ+9=0
λ1=-1 D=b2-4ac=100-4▪9=64
λ2== =1
λ3===9
собственные значения данной матрицы λ1=-1, λ2=1, λ3=9.
Для λ1=-1 система имеет вид
(-1+1)x1-5x2+12x3=0
(4+1)x2+3x3=0
5x2+(6+1)x3=0
-5x2+12x3=0
5x2+3x3=0
5x2+7x3=0
Для λ2=-1 система имеет вид
(-1-1)x1-5x2+12x3=0
(4-1)x2+3x3=0
5x2+(6-1)x3=0
-2x1-5x2+12x3=0
3x2+3x3=0
5x2+5x3=0
x2=-x3
-2x1+5x3+12x3=0
x1=x3
Полагая x3=1 получаем собственный вектор
Для λ3=9
(-1-9)x1-5x2+12x3=0
(4-9)x2+3x3=0
5x2+(6-9)x3=0
-10x1-5x2+12x3=0
-5x2+3x3=0
5x2-5x3=0
x2=x3
-10x1-5x3+12x3=0
x1=x3
Полагая x3=1 получая собственный вектор
Задание 5.
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм. 6x2+2xy+2y2=21
Решение.
Поскольку в данном случае a11=6 , a12=a21= , a22=2 , то матрица A этой квадратичной формы
A= , =0
Решаем характеристическое уравнение
(6-λ)(2-λ)-5=0
12-6λ-2λ+λ2-5=0
λ2-8λ-7=0
Корни λ1=1, λ2=7
Для λ1=1 найдём собственный вектор, составим систему ур-ний
(6-1)x1+x2=0
x1+(2-1)x2=0
5x1+x2=0
x1+x2=0
x1=
и для λ2=7
(6-7)x1+x2=0
x1+(2-7)x2=0
-x1+x2=0
x1-5x2=0
x1=x2
Находим собственные векторы :
; где x20 ;
положив x2=, получим
;
нормируем собственные векторы
,
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому
T=, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам.
Выполняя преобразования
= T=+
x= , y=
Значения x и y подставляем в исходное ур-ние и получаем :
это каноническое ур-ние эллипса.