BM часть 2. Контрольная работа №4. Вариант №8
.doc
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет НиДО
Специальность ПОИТ
Контрольная работа № 4
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант № 8
Выполнил студент: ********
группа ******
Зачетная книжка № ******-**
Электронный адрес ******@****.***
Минск 2011
Задача 138
Найти производную данных функций.
а) б)
в) г) д)
Решение:
а) Используя правило дифференцирования сложной функции:
б) Используя правило дифференцирования сложной функции:
в) Используя правило дифференцирования сложной функции:
г) Используя прием логарифмического дифференцирования и правило дифференцирования сложной функции:
д) Продифференцируем уравнение по , рассматривая как функцию от , и решим полученное уравнение относительно .
Задача 148
Найти и
а) б)
Решение:
а)
б)
Задача 158
Разложить функцию по формуле Тейлора по степеням до члена . Остаточный член записать по форме Пеано.
,
Решение:
– формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано
Задача 168
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
, .
Решение:
Для нахождения экстремумов функции воспользуемся свойствами производных:
при , где
Следовательно, на промежутке есть одна критическая точка, при .
Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке:
На отрезке ,
Задача 178
Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.
Решение:
1) Область допустимых значений
2) Функция не является четной или нечетной, так как и
3) Точки пересечения с осями координат:
, при
4) Асимптоты:
– точка разрыва, и т.к. , следовательно – вертикальная асимптота графика
Проверим, существует ли наклонная (горизонтальная) асимптота вида
– горизонтальная асимптота графика
5) Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума:
Для нахождения экстремумов функции воспользуемся свойствами производных:
при
Следовательно, на промежутке есть одна критическая точка, при .
На промежутке , следовательно функция убывает
На промежутке , следовательно функция возрастает
На промежутке , следовательно функция убывает
Т.к. , то – точка минимума
6) Выпуклость, вогнутость:
, при
На промежутке , следовательно функция выпукла вверх
На промежутке , следовательно функция выпукла вниз
На промежутке , следовательно функция выпукла вниз
Следовательно, – точка перегиба и
Задача 188
Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.
Решение:
1) Область допустимых значений
2) Функция не является четной или нечетной, так как и
3) Точки пересечения с осями координат:
нет точек пересечения, т.к.
, при
4) Асимптоты:
В области определения функция является непрерывной, как произведение двух непрерывных функций.
И т.к. , следовательно не вертикальная асимптота графика
Проверим, существует ли наклонная (горизонтальная) асимптота вида
наклонных асимптот нет
5) Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума:
Для нахождения экстремумов функции воспользуемся свойствами производных:
при
Следовательно, на промежутке есть одна критическая точка, при .
На промежутке , следовательно функция убывает
На промежутке , следовательно функция возрастает
Т.к. , то – точка минимума
6) Выпуклость, вогнутость:
, при
На промежутке , следовательно функция выпукла вверх
На промежутке , следовательно функция выпукла вниз
Следовательно, – точка перегиба и
Задача 198
Найти экстремум функции с помощью производных высших порядков.
Решение:
, где – критические точки
– точка минимума
– точка максимума
Задача 208
Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
Решение:
– правило Лопиталя