Контрольная работа 1
.docxБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФНиДО
Специальность ПОИТ
Контрольная работа № 1
по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
часть 1
Вариант № 6
Выполнил студент: Бондаренко С.В.
группа 191001
Зачетная книжка № 191001-6
Минск 2011
Основы векторной алгебры и аналитической геометрии
6. Даны четыре векторазаданные в прямоугольной декартовой системе координат.Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение: 1) Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле
Для заданного случая получаем:
2) Векторное произведение векторов вычисляется по формуле
Для заданного случая получаем:
3)Найдем определитель матрицы, составленной из координат векторов :
Определитель не равен 0, значит векторы образуют базис. Найдем координаты вектора в этом базисе:
Решая эту систему уравнений, получаем:
Таким образом, вектор в базисе векторов будет иметь координаты (-2;4; -3).
16. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.
Координаты точек А1(0; 7; 1), А2(4; 1; 5), А3(4; 6; 3), А4(3; 9; 8).
Решение: 1) Длина ребра А1А2 равна длине вектора:
2) Уравнения прямой А1А2:
3) Угол между ребрами А1А2 и А1А4 определим по формуле:
Длина вектора
4) Уравнение плоскости А1А2А3:
Раскрывая определитель и группируя слагаемые, получаем:
5) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3:
Уравнение грани А1А2А3 найдено в предыдущем пункте:
Вектор имеет координаты (3; 2; 7). Угол между вектором и плоскостью определяется по формуле:
6)Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3:
7) Площадь грани А1А2А3 определим по формуле:
8) Объем пирамиды найдем по формуле:
9) Чертеж пирамиды:
26. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
Решение: Нормальный вектор заданной плоскости (1,4,3) является направляющим для прямой, на которой находится искомая точка, и эта прямая проходит через точку М. Тогда:
Находим точку пересечения найденной прямой с заданной плоскостью, для чего записываем уравнение прямой в параметрическом виде.
Подставив в уравнение плоскости, получим:
Таким образом, координаты точки Pпересечения найденной прямой с заданной плоскостью равны
Так как эта точка делит отрезок ММ’ пополам, то имеют место следующие соотношения
Таким образом, координаты искомой точки М’(0; -3; -2).
36. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояния до начала координат и до точки относятся как 3:2. Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.
Решение: Пусть точка М(х; у) лежит на искомой линии. Расстояние от этой точки до начала координат равно , а расстояние от этой точки до точки А(0; 5) равно Таким образом, получаем равенство:
В результате получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0; 9).