Высшая математика Контрольная №1 Вариант №3
.doc
№ 3 Даны четыре вектора,,и заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется:
1) вычислить скалярное произведение ,
2) вычислить векторное произведение
3) показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
1)Найдем вектор .
Для этого умножим координаты вектора на 2 и от полученного вектора вычтем вектор . В результате вычитания получим:
Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то
2) Найдем вектор :
Векторное произведение двух векторов:
=
.
Окончательно получаем, что вектор, равный векторному произведению , имеет координаты
3)Составим определитель из координат векторов , , и вычислим его
=
Т.к. , то система векторов , , линейно независима. Следовательно, векторы , , образуют базис пространства и вектор единственным образом разлагается по векторам этого базиса или
.
Приравнивая соответствующие координаты двух равных векторов, получаем следующую систему:
Полученную систему решим по формулам Крамера.
, , ,
где -94
, , - определители, которые получаются из определителя заменой соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбца на столбец свободных членов.
Найдем ,,
Следовательно,
,
Следовательно, т.е. вектор в базисе , , имеет координаты (3,-2,-1)
№13. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.
Решение:
1)Обозначим
Длину ребра запишем по форме:
(лин. ед)
2) Уравнение прямой запишем по формуле:
.
3) Угол между ребрами и равен углу между векторами и
Из скалярного произведения векторов и имеем:
Найдем координаты векторов :
Следовательно
=
4) Найдем уравнение плоскости по формуле уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. =
Разрыв скобки, получим общее уравнение плоскости :
5) Угол между ребром и гранью найдем по формуле:
Уравнение плоскости :, значит,
=значит,.
6)Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань найдем по формуле
В данном случае а направляющий вектор – это вектор , т.к. нормальный вектор плоскости является направляющим вектором рассматриваемой высоты.
Итак, искомое уравнение высоты примет вид:
7)Найдем площадь грани
Грань - треугольник, а из векторного произведения двух векторов мы знаем, что длинна вектора равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. След-но, площадь треугольника будет вычисляться по формуле:
Значит,
8) Вычислим объем пирамиды . Из смешанного произведения трех векторов мы знаем, что , т.е. объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах ,,.
В свою очередь объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов. Найдем смешанное произведение векторов ,,. Их координаты мы уже знаем.
(,,)=
№ 23 Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой
Решение:
Искомая точка является вторым концом отрезка , для которого серединой будет точка R – проекция точки на данную прямую. Найдем точку R.
Точка R является точкой пересечения данной прямой и плоскости, проведенной через точку перпендикулярную этой прямой. Ур-ние указанной плоскости ищем в виде:
- направляющий вектор рассматриваемой плоскости прямой нормальный вектор плоскости .
Итак, ур-ние плоскости:
Находим точку пересечения данной прямой и полученной плоскости, уравнение прямой в параметрическом виде имеет вид: Тогда
Поскольку R – середина , то
.
Итак,
№ 33 Составить уравнение линии, для каждой точки которой отклонение расстояние до начала координат к расстоянию до прямой 3x+16=0 равно 0.6
Решение: Пусть – произвольная точка искомой линии,
проекция точки на прямую
По условию
С другой стороны, по формуле расстояние между двумя точками, получаем:
Подставляя эти выражения в равенство
- уравнение эллипса