Котрольная 8, вариант 5
.doc385.) Вычислить криволинейный интеграл вдоль треугольника с вершинами А(-2, 0), В (2, 0), D (0, 2), обходя его против хода часовой стрелки.
Решение:
Уравнение кривой на промежутке AB
1) , на этом отрезке при этом .
Вычислим интеграл
Уравнение кривой на промежутке BD
2) , при этом x меняется от 2 до 0.
Вычислим интеграл
Уравнение кривой на промежутке DA
3) , при этом x меняется от 0 до -2
Вычислим интеграл
Так как контур интегрирования состоит из трех отрезков АВ, ВD, DА, то
395.) Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость хОу изобразить на чертежах.
z = 0, z = 2 – x,
Решение
Надо вычислить интеграл
Сделаем чертеж
Тело ограничено плоскостями
Отсюда
Область D в плоскости xOy есть область, ограниченная сверху кривой , снизу кривой и с боку прямой
Здесь х изменяется от 0 до 2,
у изменяется от нижней кривой до верхней . Поэтому, расставив пределы интегрирования, получим
405.) Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр а положителен.
Решение:
Запишем уравнение кривой в полярных координатах :
Так как , ,откуда следует, что
.
Так как
Продолжим
415.) Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью х + у + z = 1, если плотность в каждой точке численно равна произведению координат этой точки.
Решение:
Для данной фигуры , , , а плотность исходя из условия
Найдем массу фигуры с учетам данной плотности:
425.) Вычислить поток векторного поля F через плоскость треугольника , вырезанного из плоскости (р) координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью Оz острый угол.
F = (2x - z) i + (y - x) j + (x + 2z) k; (p) :x - y + z – 2 = 0
Решение:
Поток единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением
, определяется уравнением
В данном случае и, следовательно,
, учитывая, то нормали должны образовывать острый угол с осью OZ, т.е.
, выбираем в этой формуле знак плюс.
Имеем
, находим скалярное произведение
Поток определяется поверхностным интегралом
Переходим от поверхностного интеграла к двойному, проецируя на плоскость XOY:
Определим предварительно границы
Ее проекцию D на плоскость XOY находим исключая z из условий
Отсюда
435.) Проверить, будет ли потенциальным и соленоидальным поле F . В случае потенциальности поля найти его потенциал U (x, y, z).
F = ( 2x - 3yz) i + (2y - 3xz) j + (2z - 3xy) k
Решение:
Найдем по формуле
Поле является потенциальным так как равен 0 во всех точках области V.
Найдем потенциал поля:
Для вычисления потенциала по формуле в качестве точки возьмем начало координат. Тогда получаем
Проверим соленоидальность поля, вычислив
.
Значит, поле не является соленоидальным.