Высшая математика - часть 1 [технические специальности] 1-курс КР-2 в-1
.pdfВариант 1
Задача 51. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Решение.
Вычисляем главный определитель системы:
|
3 |
4 |
2 |
|
D = |
2 |
- 4 |
- 3 |
= 3×(-4 +15) - 4 × (2 + 3) + 2 ×(10 + 4) = 41 ¹ 0 , следовательно, система |
|
1 |
5 |
1 |
|
совместна и имеет единственное решение.
1) Метод Гаусса: выпишем расширенную матрицу системы и выполним над ее строками элементарные преобразования:
æ3 4 |
2 |
|
|
|
|
8 ö æ1 5 |
|
1 |
|
|
0 ö æ1 5 1 |
|
0 |
ö æ1 5 1 |
|
|
0 ö |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
2 |
- 4 |
- 3 |
|
|
÷ |
|
ç |
2 |
- 4 |
|
- 3 |
|
|
|
|
÷ |
~ |
ç |
0 14 5 |
|
1 |
÷ |
ç |
|
0 14 5 |
|
|
÷ |
~ |
|
|
|
||||||||||||||||
ç |
|
-1÷ |
~ ç |
|
|
|
-1÷ |
ç |
|
÷ ~ |
ç |
|
|
|
1 ÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
||
è |
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
0 ø |
|
è |
3 |
4 |
|
2 |
|
|
8 |
ø |
|
è |
0 |
11 1 |
|
|
- 8ø |
è |
|
0 |
0 |
|
41 |
|
|
123ø |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ1 5 1 |
|
|
0 |
ö æ1 5 0 |
|
- 3 |
|
ö æ |
1 5 0 |
|
- 3ö |
æ1 0 0 |
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
0 14 5 |
|
|
1 |
÷ |
ç |
0 14 0 |
|
|
-14 |
÷ |
|
ç |
0 1 0 |
|
|
÷ |
ç |
0 1 0 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
~ ç |
|
|
÷ ~ |
ç |
|
|
÷ ~ |
ç |
|
-1÷ ~ |
ç |
|
-1÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
è |
0 0 1 |
|
|
3 |
ø è |
0 0 1 |
|
|
3 |
|
|
ø è |
0 0 1 |
|
3 |
ø |
è |
0 0 1 |
|
3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) Алгебраические дополнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
= -4 +15 = 11 |
|
|
A12 = -(2 + 3) = -5 |
|
A13 |
= 10 + |
4 = 14 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A21 = -(4 -10) = 6 |
|
|
|
|
A22 |
= 3 - 2 = 1 |
|
|
|
A23 = -(15 - 4) = -11 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Вычисляем: |
|
|
|
A31 = -12 + 8 = -4 A32 = -(-9 - 4) = 13 A33 = -12 - 8 = -20 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
æ A11 |
|
A21 |
A31 |
ö æb1 |
ö |
|
1 |
|
æ 11 6 |
- 4 ö |
æ 8 ö |
1 |
|
æ 88- 6 + 0 ö æ 2 ö |
|||||||||||||||||||||||||||
X = A−1B = |
|
×ç A A A |
÷ |
×çb |
÷ |
= |
|
×ç |
-5 1 -13 |
÷ |
×ç-1÷ = |
× |
ç - 40-1+ 0 |
÷ |
= ç |
-1÷. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
÷ |
|
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
ç |
12 |
|
22 |
32 |
÷ ç 2 |
41 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
41 |
ç |
|
|
|
|
÷ ç |
÷ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
A23 |
|
÷ ç |
÷ |
ç |
14 |
-11 |
|
|
|
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ ç ÷ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è A13 |
|
A33 ø |
|
|
èb3 |
ø |
|
|
|
|
è |
- 20ø |
è |
0 |
|
ø |
|
|
|
|
è112 |
+11- 0ø |
è |
3 ø |
|||||||||||||||||
Ответ. |
x1 = 2, x2 = -1, x3 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 61. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Решение.
Выпишем расширенную матрицу системы и выполним над ее строками элементарные преобразования:
1
æ1 |
4 - 3 |
6 |
|
0ö |
|
æ1 |
4 - 3 |
6 |
|
0ö |
æ1 4 |
- 3 |
6 |
|
0ö |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ç |
2 |
5 1 |
- 2 |
|
0 |
÷ |
~ |
ç |
0 |
3 |
- 7 |
14 |
|
0 |
÷ |
|
~ |
||||||||
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
~ ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 1 |
- 7 / 3 14 / 3 |
|
0 |
÷ |
|
|||||
ç |
1 |
7 |
-10 20 |
|
0 |
÷ |
|
ç |
0 |
3 |
- 7 |
14 |
|
0 |
÷ |
è |
|
ø |
|
||||||
è |
|
ø |
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ1 0 19 / 3 - 38 / 3 |
|
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
~ ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ç |
- |
7 / 3 14 / 3 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
è0 1 |
|
0ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ранг матрицы равен 2, то размерность данной системы уравнений равна 2. Общее решение системы:
ìx |
= - |
19 |
x |
3 |
+ |
38 |
x |
4 |
, |
|||
|
|
|
||||||||||
ï 1 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
íx2 |
= |
|
|
x3 - |
|
|
x4 |
, |
|
|
||
3 |
|
3 |
|
|
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ïx3 |
- любое, |
|
|
|
|
|||||||
ï |
- любое. |
|
|
|
|
|||||||
îx4 |
|
|
|
|
Находим базис:
- первый вектор получаем при x3 = 0, x4 = 3: v1 (38;-14;0;3), - второй вектор получаем при x3 = 3, x4 = 0 : v2 (-19;7;3;0).
Задача 71. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x1′′, x′2′, x3′′ через x1, x2 , x3 :
Решение.
Матрицы преобразований:
- выражающего x1′, x′2 , x3′ через x1, x2 , x3 :
æ5 |
-1 |
3 |
ö |
|
|
ç |
1 |
- 2 |
0 |
÷ |
, |
A = ç |
÷ |
||||
ç |
0 |
7 |
|
÷ |
|
è |
-1ø |
|
- выражающего x′′, x′′ |
, x′′ |
через x′, x |
′ , x′ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ2 |
0 |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
ç |
0 |
1 |
- 5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
0 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|||
Матрица преобразования, выражающего x′′, x′′, x′′ через x , x |
2 |
, x |
3 |
: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
||
æ2 0 1 |
ö æ5 -1 3 ö æ10 + 0 + 0 - 2 + 0 + 7 6 + 0 -1ö æ10 |
||||||||||||||||||||||
ç |
0 1 - 5 |
÷ |
ç |
1 |
|
|
÷ |
|
= |
ç |
0 |
+1+ 0 0 |
- 2 - 35 0 + 0 + 5 |
÷ |
ç |
||||||||
C = BA = ç |
÷ |
×ç |
- 2 0 ÷ |
|
ç |
÷ |
= ç 1 |
||||||||||||||||
ç |
2 0 0 |
÷ |
ç |
0 7 |
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
+ 0 |
- |
2 + 0 + 0 6 + 0 + 0 |
÷ |
ç |
|||||
è |
ø è |
|
-1ø è10 + 0 |
ø è10 |
|||||||||||||||||||
|
ìx¢¢ = 10x + 5x |
2 |
+ 5x |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ï 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно: íx2¢¢ = x1 - 37x2 + 5x3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
+ 6x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
îx3¢¢ = 10x1 - 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55ö
÷
-37 5÷ .
-2 6÷ø
2
Задача 81. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение.
Характеристическое уравнение:
|
|
|
|
| A − λE |= 0 |
|
|
|
||||
|
æ2 |
19 |
30 ö |
æ |
1 |
0 |
0 |
ö |
|
||
|
|
||||||||||
|
ç |
0 |
- 5 |
-12 |
÷ |
ç |
0 |
1 |
0 |
÷ |
= 0 |
|
ç |
÷ |
- λç |
÷ |
|||||||
|
ç |
0 |
2 |
5 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
|
è |
ø |
è |
ø |
|
||||||
|
|
|
2 - λ |
19 |
|
30 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
- 5 - λ |
-12 |
= 0 |
|
||||
|
|
|
0 |
|
2 |
|
5 - λ |
|
|
|
(2 - λ)((- 5 - λ)(5 - λ)+ 24) = 0 (2 - λ)(- 25 + λ2 + 24)= 0
(2 - λ)(λ2 -1)= 0
Корни этого уравнения – собственные значения матрицы: λ1 = -1, λ2 = 1 и λ3 = 2 .
Находим собственные векторы: |
|
||
- для λ1 = -1 из системы: |
|
|
|
ì3x -19y + 30z = 0, |
ì3x -19 ×(- 3z)+ 30z = 0, |
ìx = -29z, |
|
ï |
ï |
= -3z, |
ï |
í- 4y -12z = 0, |
Û íy |
Û íy = -3z, |
|
ï |
ï |
= -3z |
ï |
î2y + 6z = 0 |
îy |
îz - любое. |
При z = 1 получаем: v1 (- 29;-3;1). |
|
|||
- для λ2 = 1 из системы: |
|
|
||
ìx -19y + 30z = 0, |
ìx -19 ×(- 2z)+ 30z = 0, |
ìx = -68z, |
||
ï |
ï |
|
= -2z, |
ï |
í- 6y -12z = 0, |
Û íy |
Û íy = -2z, |
||
ï |
ï |
|
= -2z |
ï |
î2y + 4z = 0 |
îy |
îz - любое. |
||
При z = −1 получаем: v2 (68;2;-1). |
|
|||
- для λ3 = 2 из системы: |
|
|
||
ì-19y + 30z = 0, |
ìy = 0 |
|
||
ï |
ï |
= 0 |
|
|
í- 7 y -12z = 0, Û íz |
|
|||
ï |
ï |
- любое. |
|
|
î2y + 3z = 0 |
îx |
|
При x = −1 получаем: v3 (1;0;0).
Ответ. Собственные значения: λ1 = -1, λ2 = 1, λ3 = 2 . Собственные векторы: v1 (- 29;-3;1), v2 (68;2;-1), v3 (1;0;0).
3
Задача 91. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Матрица преобразования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
|
|
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Характеристическое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A − λE |= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 - λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 - λ)(2 - λ)- 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 - 7λ + 6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Корни этого уравнения – собственные значения матрицы: λ1 |
= 1, λ2 |
= 6 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Находим собственные векторы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
- для λ1 = 1 из системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ì4α + 2β = 0, |
Û β = -2α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
î2α + β = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При α = 1 получаем: v1 (1;-2). Норма этого вектора: | v1 |= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ 4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Нормированный вектор: e |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
æ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
- 2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
1 |
|
|
= ç |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
| v1 |
| |
|
|
è |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
- для λ2 = 6 из системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ì-α + 2β = 0, |
|
Û α = 2β . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
î2α - 4β = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При β = 1 получаем: v2 (2;1). Норма этого вектора: | v2 |
|= |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 +1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Нормированный вектор: e2 |
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
æ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= ç |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Замена координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
| v2 |
| |
|
è |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìx = |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
+ |
2 |
|
|
y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïy |
= - |
|
5 |
|
x1 |
+ |
|
5 |
|
|
y1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Подставляем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
æ |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
ö2 |
æ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
öæ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ö |
|
æ |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
ö |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
5×ç |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
y |
÷ + 4 ×ç |
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
y ֍- |
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
y |
÷ + +2 ×ç- |
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
y |
÷ = 18 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
5 |
1 |
|
|
5 |
1 ÷ |
ç |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
5 |
1 |
|
֍ |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
÷ |
|
ç |
|
|
5 |
1 |
|
5 |
1 |
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
øè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5(x2 + 4x y + 4y2 )+ 4(x + 2y )(- 2x + y )+ 2(4x2 - 4x y + y |
2 )= 5×18 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
2 |
|
|
+ 30y2 = 90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
y2 |
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
|
|
|
|
)2 |
( |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ. |
|
|
|
x2 |
|
+ |
|
y2 |
|
= 1 (эллипс). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(3 |
|
)2 |
|
( |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Список использованных источников
1.Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис, 1996.
2.Высшая математика: Общий курс: Учебник / А.В.Кузнецов, Л.Ф.Янчук, С.А.Мызгаева и др.; Под общей редакцией профессора А.И.Яблонского. - Мн.:
Выш. шк., 1993.
3.Дадаян А.А., Дударенко В.А. Алгебра и геометрия: Учеб. пособ. - Мн.: Выш. шк., 1989.
4.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособ. для вузов - М: Наука, 1989.
5