- •Вычисление двойного интеграла.
- •Замена переменных в двойном интеграле.
- •Геометрические приложения двойных интегралов.
- •Тройной интеграл.
- •Замена переменных в тройном интеграле.
- •Приложения тройного интеграла.
- •Криволинейные интегралы I рода.
- •Криволинейный интеграл II рода.
- •Формула Грина.
- •Нахождение функции по её полному дифференциалу.
Тройной интеграл.
Вычисление тройного интеграла от функции , определённой в области V, сводится к вычислению интеграла вида
где - проекция области V на плоскость , и - уравнения поверхностей, ограничивающих область V соответственно снизу и сверху. Если область ограничена линиями и , , , то от тройного интеграла переходим к трёхкратному
В тройном интеграле, так же как и в двойном, порядок интегрирования может быть изменён.
Пример 5.
В ычислить , если .
Область V ограничена параболическим цилиндром с образующей, параллельной оси , и плоскостями , , (рис. 6).
И з рисунка видно, что наиболее рационально интегрировать при проецировании области V на плоскость (рис. 7), при этом , . Граница области D образована параболой и прямой .
Следовательно,
Замена переменных в тройном интеграле.
Н аряду с прямоугольной системой координат в пространстве могут быть введены цилиндрическая и сферическая системы координат.
Цилиндрическая система координат.
Прямоугольные координаты точки М связаны с её цилиндрическими координатами следующими соотношениями:
, , , (5)
где , , (рис. 8). При переходе от прямоугольных координат x, y, z к цилиндрическим , , z по формулам (5) якобиан преобразования , поэтому
. (6)
Ф ормулой (6) удобно пользоваться тогда, когда область V проецируется в круг или часть круга.
Сферическая система координат.
Сферическими координатами точки M называют тройку чисел , где r – расстояние от точки M до начала координат, - угол между положительным направлением оси и лучом OM, - угол между положительным направлением оси и лучом , где - проекция точки М на плоскость (рис. 9). Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется соотношениями
, , , (7)
где , , .
В сферических координатах модуль якобиана преобразования , поэтому
.
Этой формулой удобно пользоваться, если область V – шар или часть шара.
Приложения тройного интеграла.
Объём тела, занимающего область V, определяется по формуле:
.
Пример 6.
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями и .
Тело ограниченно снизу параболоидом вращения с вершиной в начале координат, а сверху – параболоидом вращения с вершиной в точке (рис. 10).
О бласть V проецируется на плоскость в область, ограниченную окружностью (рис. 11), уравнение которое получено исключением переменной z из уравнений параболоидов.
Так как область V проецируется в окружность, используем переход в цилиндрическую систему координат.
.
Переведём область V в , используя формулы (5):
Уравнение окружности имеет вид: , тогда
Криволинейные интегралы I рода.
Криволинейный интеграл I рода от функции по кривой L обозначается .
Если кривая L задана уравнением , , то справедливо равенство
(8)
Если кривая L задана уравнением , , , то . (9)
Если кривая L задана в полярных координатах уравнением , , то
(10)
Пример 7.
Вычислить криволинейный интеграл , где L – первая арка циклоиды
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (9):