Контрольна по ТВиМС
.docx1.9. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что все цифры одинаковы.
1.11. Условие задачи 1.9. Вычислить вероятность того, что номер не содержит цифры пять.
Решение.
Обозначим событие А- событие состоящее в том, что номер не содержит цифры 5.
Для нахождения вероятности события А воспользуемся классическим определением вероятности
Р(A)=
Где – общее число всевозможных номеров (число перестановок с повторениями 10 цифр по 6 местам)
m=95=59049 – число номеров в которых нет пятерки (число перестановок с повторениями 9 цифр по 5 местам)
тогда
Р(A)=59049/1000000=0,0590
Ответ: Р(A)=0,0590
В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
№2,11
р1=0,1 р2=0,2 р3=0,3 р4=0,4
Обозначим Аi – событие состоящее в том, что i-ый элемент работает. В – событие состоящее в том, что сигнал пройдет через цепь.
В=А1А2А3А4
Так как события Аi независимы, то
Р(В)=Р(А1)р(А2) р(А3) р(А4)=(1-р1)(1-р2)(1-р3)(1-р4)
Р(В)=(1-0,1)(1-0,2)(1-0,3)(1-0,4)=0,9*0,8*0,7*0,6=0,3024,
Ответ: Р(В)=0,3024
3.11. Группа студентов состоит из пяти отличников, десяти хорошо успевающих и семи занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит хорошую или отличную оценку.
Решение.
Обозначим А – событие состоящее в том, что в студент получит хорошую или отличную оценку
Можно выдвинуть три гипотезы
Н1– вызвали отличника
Р(Н1)=5/22
Н2– вызвали хорошо успевающих
Р(Н2)=10/22
Н3– вызвали слабо успевающих
Р(Н3)=7/22
Условная вероятность того, что отличник сдаст на хорошо или отлично
РН1(А)=1
Хорошо успевающий
РН2(А)=1
Слабо успевающий
РН3(А)=1/3
Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности
Р(А)= Р(Н1)* РН1(А)+ Р(Н2)* РН2(А)+ Р(Н3)* РН3(А)
Р(А)=5/22*1+10/22*1+7/22*(1/3)=
Ответ: Р(А)=26/33
4.11. Монету подбрасывают восемь раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений герба?
Решение.
р=0,5-вероятность выпадения герба при одном броске, n=8- число бросков
Наивероятнейшее число стандартных деталей найдем по формуле
np-q≤k<np+p
0,5*8-0,5≤k<8*0,5+0,5
3,5≤k<4,5
k=4
Ответ: к=4
ЗАДАЧА 5
В задачах 5.1-5.30 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в табл. 1.1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
№5,11
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0 |
Математическое ожидание
М(Х)=
М(Х)= 0*0,1+1*0,2+2*0,3+3*0,4+4*0=2,0
Дисперсия
Д(Х)=М(Х2)–( М(Х))2
Где М(Х2)=
М(Х2)= 02*0,1+12*0,2+22*0,3+32*0,4+42*0=5
Д(Х)=5–22=1
Функция распределения
F(xi)=P{X<xi}=P{(X=x1)(X=x2) ... (X=xi-1)}= p1+...+pi-1.
F(X)=
График функции распределения
ЗАДАЧА 6
В задачах 6.1-6.30 (параметры заданий приведены в табл. 1.2) случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [α, β].
№6.11
f(x)=
Для определения постоянной с воспользуемся свойством плотности вероятности
с/2=1
с=2
f(x)=
математическое ожидание
М(Х)=
М(Х)=
Дисперсия
Д(Х)=М(Х2)–(М(Х))2
Где М(Х2)=
=
Д(Х)=0,1169–0,28542 =0.0354
Функция распределения
F(x)=
F(X)= при x<0
F(X)= при 0≤x≤
F(X)= при <x
F(X)=
Вероятность того, что 0,5<x<1 найдем по формуле
Р(0,5<x<1)=
ЗАДАЧА 7
В задачах 7.1-7.30 (условия приведены в табл. 1.3) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=ϕ(X) и определить плотность вероятности g(y).
№7.11
Y=2х
Плотность вероятности СВ Х найдем по формуле
f(x)=,
f(x)=1/(6+4)=0.1
График функции Y=2х при -4≤x≤6
x=0.5y
х’=(0.5y)’=0.5
g(y)=f(0.5y)*(0.5)=0.1*0.5=0.05
свойство плотности вероятности
Ответ: g(y)=
ЗАДАЧА 8.
В задачах 8.1-8.30 (конкретные параметры приведены в табл. 1.4) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 1.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
№8.11
y=x
y=4-x
Коэффициент корреляции
r=
плотность распределения СВ (x,y) найдем по формуле
f(x,y)=1/S
где S–площадь фигуры
S=0.5*2*4=4
f(x,y)=1/4
Плотность распределения f(x) найдем по формуле
f(x)=
f(x)= , 0<x≤2
f(x)= , 2<x≤4
f(x)=
f(y)=
f(y)= ,0<y≤2
f(y)=
Математическое ожидание
М(Х)=
М(Y)=
М(Y)=
К=
Среднее квадратическое отклонение
М(Y2)=
r=
r=0
Ответ: r=0
ЗАДАЧА 9.
В задачах 9.1-9.30 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции RUV:
U = a0 +a1X1 +a2X2 V = b0 + b1X2 + b2X3 .
Конкретные значения коэффициентов ai, i = 0, ..., 2; bj, j = 0, ..., 2 и числовые характеристики случайных величин Xi, i = 0, ..., 3 приведены в табл. 1.9.
№9,11
Решение:
Коэффициент корреляции найдем по формуле
Воспользуемся свойством математического ожидания
Дисперсия
Коэффициент корреляции
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
В данном разделе приведены задания по статистической обработке и анализу одномерных (задача №10) и двумерных (задача №11) случайных величин.
ЗАДАЧА 10.
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α = 0,05).
№10,11
Вариационный ряд
-3,61 |
0,24 |
-3,07 |
0,31 |
-2,91 |
0,36 |
-2,83 |
0,39 |
-2,78 |
0,40 |
-2,41 |
0,42 |
-2,35 |
0,44 |
-2,15 |
0,44 |
-2,03 |
0,45 |
-1,99 |
0,46 |
-1,93 |
0,50 |
-1,82 |
0,51 |
-1,75 |
0,54 |
-1,71 |
0,54 |
-1,39 |
0,55 |
-1,36 |
0,57 |
-1,27 |
0,61 |
-1,23 |
0,67 |
-1,22 |
0,68 |
-0,96 |
0,73 |
-0,95 |
0,75 |
-0,9 |
0,76 |
-0,86 |
0,85 |
-0,71 |
0,86 |
-0,7 |
0,87 |
-0,69 |
0,93 |
-0,68 |
1,09 |
-0,66 |
1,11 |
-0,64 |
1,19 |
-0,61 |
1,19 |
-0,52 |
1,24 |
-0,42 |
1,33 |
-0,33 |
1,41 |
-0,32 |
1,47 |
-0,21 |
1,48 |
-0,19 |
1,51 |
-0,19 |
1,61 |
-0,19 |
1,62 |
-0,14 |
1,62 |
-0,1 |
1,77 |
-0,09 |
1,99 |
-0,08 |
2,01 |
-0,04 |
2,05 |
-0,03 |
2,10 |
0,05 |
2,13 |
0,08 |
2,22 |
0,12 |
2,28 |
0,12 |
2,45 |
0,21 |
2,73 |
0,24 |
3,12 |
Эмпирическая функция распределения
По формуле построим график эмпирической функции распределения . Так как является неубывающей функцией и все ступеньки графика имеют одинаковую величину 1/n (или ей кратны – для одинаковых значений), то таблицу значений эмпирической функции распределения F*(x) можно не вычислять, а построить ее график непосредственно по и вариационному ряду, начиная с его первого значения
Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки ( см. формулу (10.2)):
Для равноинтервальной гистограммы величины hj, Aj, Bj, рассчитаем по формуле и заполним все колонки интервального статистического ряда :
Шаг интервала
h=
h=(3,12+3,61)/10=0.673
-3,610 |
-2,937 |
0,673 |
2 |
0,02 |
0,030 |
0,02 |
-2,937 |
-2,264 |
0,673 |
5 |
0,05 |
0,074 |
0,07 |
-2,264 |
-1,591 |
0,673 |
7 |
0,07 |
0,104 |
0,14 |
-1,591 |
-0,918 |
0,673 |
7 |
0,07 |
0,104 |
0,21 |
-0,918 |
-0,245 |
0,673 |
13 |
0,13 |
0,193 |
0,34 |
-0,245 |
0,428 |
0,673 |
22 |
0,22 |
0,327 |
0,56 |
0,428 |
1,101 |
0,673 |
21 |
0,21 |
0,312 |
0,77 |
1,101 |
1,774 |
0,673 |
13 |
0,13 |
0,193 |
0,9 |
1,774 |
2,447 |
0,673 |
7 |
0,07 |
0,104 |
0,97 |
2,447 |
3,120 |
0,673 |
3 |
0,03 |
0,045 |
1 |
Гистограмма равноинтервальным способом
Гистограмма равновероятностным способом
-3,610 |
-2,937 |
1,68 |
10 |
0,1 |
0,060 |
-2,937 |
-2,264 |
0,98 |
10 |
0,1 |
0,102 |
-2,264 |
-1,591 |
0,43 |
10 |
0,1 |
0,233 |
-1,591 |
-0,918 |
0,43 |
10 |
0,1 |
0,233 |
-0,918 |
-0,245 |
0,33 |
10 |
0,1 |
0,303 |
-0,245 |
0,428 |
0,26 |
10 |
0,1 |
0,385 |
0,428 |
1,101 |
0,25 |
10 |
0,1 |
0,400 |
1,101 |
1,774 |
0,49 |
10 |
0,1 |
0,204 |
1,774 |
2,447 |
0,75 |
10 |
0,1 |
0,133 |
2,447 |
3,120 |
1,13 |
10 |
0,1 |
0,088 |
Вычислим точечную оценку математического ожидания по формуле:
.
Вычислим точечную оценку дисперсии по формуле:
.
Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 по формуле .
Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное = 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее: . Затем вычислим и получим доверительный интервал для математического ожидания:
.
Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95 по формуле .
Вычислим и получим доверительный интервал для дисперсии:
.
По виду гистограммы выдвинем гипотезу о нормальном распределении СВХ. Проверим гипотезу о нормальном распределении СВХ при помощи критерия χ2
Н0: F(x)=F0(x),
Н1: F(x)≠F0(x),
Где F0(x), – теоретическая функция и плотность распределения
,
Где
,
χ2=
|
-2,937 |
0 |
0,0139 |
0,0139 |
0,02 |
0,00267 |
-2,937 |
-2,264 |
0,0139 |
0,0433 |
0,0294 |
0,05 |
0,01437 |
-2,264 |
-1,591 |
0,0433 |
0,1100 |
0,0667 |
0,07 |
0,00017 |
-1,591 |
-0,918 |
0,1100 |
0,2297 |
0,1197 |
0,07 |
0,02064 |
-0,918 |
-0,245 |
0,2297 |
0,4001 |
0,1704 |
0,13 |
0,00957 |
-0,245 |
0,428 |
0,4001 |
0,5924 |
0,1923 |
0,22 |
0,00400 |
0,428 |
1,101 |
0,5924 |
0,7643 |
0,1720 |
0,21 |
0,00841 |
1,101 |
1,774 |
0,7643 |
0,8863 |
0,1220 |
0,13 |
0,00053 |
1,774 |
2,447 |
0,8863 |
0,9548 |
0,0686 |
0,07 |
0,00003 |
2,447 |
|
0,9548 |
1 |
0,0452 |
0,03 |
0,00509 |
|
|
|
сумма |
1 |
1 |
0,06548 |