Основна теорема про симетричні многочлени.

Теорема. Кожний симетричний многочлен від невідомих над полем може бути виражений у вигляді многочлена від основних симетричних многочленів функцій над тим же полем : , де - многочлен від над .

Наслідок. Нехай - многочлен від невідомого над полем і зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1, і - комплексні корені цього многочлена. Тоді будь-який симетричний многочлен від невідомих над тим же самим числовим полем буде мати при значення, що належить полю .

Справді, згідно основної теореми про симетричні многочлени можна виразити у вигляді многочлена над тим же полем . Покладемо ми за формулами Вієта отримаємо для основних симетричних многочленів значення, які відповідно дорівнюють Звідси, симетричний многочлен прийме значення які лежать в полі , так як коефіцієнти многочленів і лежать в .

Існує і багато інших способів вираження симетричних многочленів через основні, але не дивлячись на це має місце слідуюча теорема.

Теорема про єдиність вираження симетричного многочлена через основні симетричні многочлени. Всякий симетричний многочлен від над числовим полем незалежно від способу представляється єдиним чином у вигляді многочлена від основних симетричних многочленів над тим же полем .

Властивість алгебраїчної незалежності основних симетричних многочленів

Рівність

ліва частина якої є многочлен від основних симетричних з коефіцієнтами із поля , може мати місце лише тоді, коли всі коефіцієнти рівні нулю.

Додаткові зауваження про симетричні многочлени

Основна теорема симетричних многочленів може бути поширена і на випадок раціональних дробів.

Означення. Раціональний дріб від невідомих називається симетричним, якщо він залишається без зміни при будь-якій перестановці невідомих.

Це означення не залежить від того, будемо ми брати чи рівний йому дріб Для симетричних раціональних дробів справедлива така теорема.

Теорема Будь-який симетричний раціональний дріб від невідомих з коефіцієнтами із поля можна подати у вигляді раціонального дробу від елементарних симетричних многочленів з коефіцієнтами, які не належать полю .

Степеневі суми

На практиці часто доводиться мати справу з симетричними многочленами виду:

тобто з сумами -х степенів змінних. Ці многочлени називаються степеневими сумами.

Степеневі суми за основною теоремою симетричних многочленів можна виразити через симетричні многочлени.

(16)

(17)

- кількість невідомих

Формули (16) і (17) називають формулами Ньютона.

Якщо а то за формулою (17)

На практиці дуже часто зустрічаються степеневі суми

Вирази цих сум через основні симетричні многочлени легко знаходяться із рекурентної формули

(18)

Запишемо декілька виразів степеневих сум від змінних через :

Питання для самоперевірки

1. Який многочлен називається симетричним?

2. Сформулювати властивості симетричних многочленів.

3. Які многочлени називаються основними симетричними многочленами?

4. Сформулювати основну теорему теорії симетричних многочленів.

5. Сформулювати властивість алгебраїчної незалежності основних симетричних многочленів.

Методичні рекомендації до розв‘язування

Приклад 1. Виразити через над полем раціональних чисел многочлен

Розв’язання Даний многочлен є форма 4-гостепеня з вищим членом З системи показників вищого члена можна утворити ще дві такі системи які задовольняють умову систем показників вищих членів. Тут сума показників дорівнює чотирьом і їх послідовність має бути не зростаючою. Тоді згідно з способом доведення основної теореми дістанемо:

Для визначення В і С можна утворити в загальному випадку систему двох рівнянь, надаючи числових значень для . Числові значення для краще, проте, добирати так, щоб обчислення максимально спростити. Так, у нашому випадку доцільно надати таких значень, щоб , тоді зразу визначимо В. Нехай Тоді:

Підставляючи відповідні значення у вираз (1), матимемо:

Для визначення С можемо, наприклад, покласти:

Тоді

Тобто

Остаточно дістаємо:

Приклад 2 Обчислити

від коренів рівняння

Розв’язання Нехай є корені рівняння (2). Тоді згідно з формулами Вієта матимемо:

Покладемо тепер Тоді , відповідно набудуть значень:

Звідки

Приклад 3 Обчислити суму кубів коренів рівняння

Розв’язання Виразимо симетричний многочлен через основні симетричні многочлени . Система показників для вищих членів буде така:

3000...

2100...

1110...

Звідки

де

Покладемо

Тоді

Щоб визначити , покладемо:

Тоді

Звідки

Заданий многочлен і многочлен

мають ті самі корені

Згідно з формулами Вієта:

і т. д.

Тоді при дістанемо:

Нехай, наприклад,

Якщо нам дано симетричний многочлен у вигляді добутку, наприклад, то розкривати цей добуток не потрібно, а треба лише знайти його вищий член, використовуючи теорему: вищий член добутку многочленів дорівнює добутку вищих членів співмножників. У нашому випадку вищий член дорівнюватиме:

Приклад 4 Розкласти на множники многочлен

Розв’язання Виразимо многочлен через основні симетричні многочлени від змінних :

Виносячи за душки і підставляючи замість , їх вирази через , отримаємо:

Приклад 5. Знайти суму кубів коренів многочлена

Розв’язання Над полем многочлен має 4 корені: (кожен корінь записаний стільки раз, яка його кратність). Нам необхідно знайти число , не знаходячи самих коренів.

За формулами Вієта знайдемо значення основних симетричних многочленів від коренів нашого многочлена:

Отже, для рішення нашої задачі достатньо однорідний симетричний многочлен виразити через Знайдемо

Підставляючи сюди знайдені вище значення для отримаємо, що сума кубів коренів многочлена дорівнює:

Приклад 6. Розкласти симетричний однорідний многочлен 4-й степеня на множники, незвідні над полем дійсних чисел:

Розв’язання а) Виразимо спочатку через основні симетричні многочлени

Відносно отриманий многочлен квадратний. Розв’яжемо відповідне квадратне рівняння

Розкладемо тепер квадратний многочлен як квадратний відносно на множники:

Кожний із множників буде звідним над полем . Перший множник, який розглядається як квадратний відносно , має корені і розкладається на лінійні множники:

Другий множник має корені і також розкладається на лінійні множники:

Відповідь:

Отриманий квадратний відносно многочлен має уявні корені, тому розкласти його на множники над не можна. Представимо його у вигляді

тобто у вигляді добутку двох несиметричних множників, кожний із яких представляє собою відображення другого при перестановці .

Підставляючи в рівність (*) , отримаємо:

Коефіцієнти в рівності (*) визначені з точністю до спільного множника , так як при зміні у чисел знаків на протилежні рівності (*) залишається справедливим. Тому можна прийняти .

При із рівності (*) отримаємо:

а маємо .

Таким чином, для знаходження маємо будь-яку з двох систем:

Розв’язок системи І: (чи ).

Розв’язок системи ІІ уявний.

Відповідь.

Приклад 7 Виразити симетричний многочлен

над полем раціональних чисел через основні симетричні многочлени.

Розв’язання Даний многочлен є сума форм:

Виражаємо форму через основні симетричні многочлени. Звертаємо увагу на те, що – форма сьомого степеня. Врахуємо всі можливі вищі члени симетричних многочленів , які отримуються згідно доведення сьомої теореми. Вищим членом самої форми є а повинні бути також формами сьомого степеня. Таким чином, ми отримуємо таку таблицю всіх можливих вищих членів:

Таблиця 1.

Система показників	Вищі члени	Відповідна комбінація основних симетричних многочленів
3 3 1 3 2 2

Система показників кожного вищого члена повинна задовольняти умову і в той же час сума повинна дорівнювати сім. Крім того, кожна слідуюча система показників повинна відповідати члену меншого степеня. Із таблиці 1 маємо, що Залишається визначити . Для цього даємо невідомим довільні числові значення, наприклад, Тоді основні симетричні многочлени приймуть значення

а форма прийме значення, рівне 3. Підставляючи всі ці значення в рівність (*), отримуємо , звідки

Тепер складаємо аналогічну табличку для другої форми k:

Система показників	Вищі члени	Відповідна комбінація основних симетричних многочленів
2 1 0 1 1 1

Звідси

Припускаючи, що отримуємо значення Підставляємо всі ці значення в рівність (**) і знаходимо, що , звідки Отже, Таким чином, остаточно отримуємо, що

Задачі, рекомендовані для розв’язування в аудиторії

Виразити через основні симетричні многочлени:

15.Обчислити від коренів рівняння

16. Виразити через коефіцієнти рівняння такі симетричні функції:

17. Виразити через коефіцієнти рівняння такі симетричні функції:

18. Симетричний многочлен від змінних , всі члени якого отримуються із одного із них при всіх можливих перестановках змінних, які не дають подібних членів, називається моногенним многочленом. Якщо - вищий член моногенного многочлена, то цей моногенний многочлен позначається

Виразити дані многочлени через основні симетричні многочлени від змінних:

19. Обчислити значення многогенного многочлена від коренів многочлена

20*. Знайдіть значення степеневих сум від коренів многочлена

21*. Обчисліть суму -х степенів коренів многочлена:

22*. Знайдіть многочлен третього степеня, якщо його корені дорівнюють , де - корені многочлена

23. Доповнити функції до симетричних і виразити через основні симетричні многочлени:

24. Обчислити значення симетричної функції

від коренів рівняння:

25. При якому дійсному а сума квадратів коренів рівняння

має найменше значення?

26. Розкласти на множники, незвідні над полем дійсних чисел, симетричні однорідні многочлени 4-го степеня:

Задачі підвищеної складності

1. Виразити симетричний многочлен через основні симетричні многочлени:

;

;

;

.

2. Знайти чому дорівнює сума:

, де – корені рівняння

3. Виразити через коефіцієнти рівняння такий симетричний многочлен

4. Обчислити значення симетричної функції від коренів рівняння ;

5. Виразити через елементарні симетричні многочлени дріб та знайти його значення, якщо:

і ;

і ;

.

6. Знайти суму п’ятих і суму шостих степенів коренів рівняння:

;

.

Домашнє завдання

1. Доповнити до симетричного і виразити через основні симетричні многочлени ;

2. Виразити через основні симетричні многочлени ;

3. Виразити основні симетричні многочлени через корені рівняння:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Знайти многочлен:

а) третьої степені, коренями якого є куби коренів многочлена ;

б) четвертої степені, коренями якого є квадрати коренів многочленна .

22