11. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. радиус сходимости сте­пенного ряда – есть интервал, отрезок (-R,R), внутри которого степенной ряд имеет конечную сумму, которая определяется фун-ей f(x)

Радиус сходимости степенного ряда. Если существует предел , то радиус сходимости ряда равен . Доказательство. Рассмотрим ряд . По условию существует . Обозначим его через . Тогда . При каждом значении степенной ряд становится числовым. Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. . по теореме 14.10 о сходимости знакопеременных рядов ряд также сходится при , причем абсолютно. При ряд расходится, так как и, следовательно, общий член ряда не стремится к нулю при . данный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его, т.е. радиус сходимости равен .

12. Свойства степенных рядов.

Пусть функция является суммой степенного ряда ,(6)

интервал сходимости которого (— R, R). В этом случае говорят, что на интервале (— R, R) функция f(х) разлагается в степенной ряд (или ряд по степеням х). Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов.

Теорема 4. Если функция f (х) на интервале (—R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (6), т. е. Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции f(х). При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Теорема 5. Если функция f (х) на интервале (- R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она интегрируема в интервале ( — R, R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным инте­грированием ряда (6), т. е. если , то Представляет интерес интегрирование степенного ряда (6) по отрезку [0, х], где : В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (6).Сформулированные теоремы дифференцирования и интегриро­вания степенных рядов имеют важное значение. Далее они неодно­кратно используются.

13. Разложение функций в степенные ряды. Теорема о единственности разложения функций в степенные ряды.

Если функция f(х) на интервале (-R, R) разлагается в степенной ряд ,(8)

то это разложение единственно.

Доказательство. По условию ряд (8) сходится на ин­тервале (-R, R) и функция f(х) — его сумма. Следовательно, на основании теоремы 14.14 ряд (8) можно почленно дифференци­ровать на интервале ( -R, R) любое число раз. Дифференцируя, получаем

Полагая в полученных равенствах и в равенстве (8) , имеем откуда находим (9)

Таким образом, все коэффициенты ряда (8) определяются единст­венным образом формулами (9), что и доказывает теорему.

14. Ряды Тейлора и Маклорена элементарных функций.

если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид (10) Ряд (10) называется рядом Маклорена для функции f(х).

Для того чтобы ряд Макларена (10) схо­дился на (— R, R) и имел своей суммой функцию f(x), необходимо и достаточно, чтобы на (—R, R) остаточный член R_n(x) формулы Маклорена (11) стремился к нулю при , т. е. для любого .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) — сумма ряда Маклорена на (-R, R), т. е. . Тогда из равенства (12) следует, что для любого . Достаточность. Пусть для любого . Тогда из равенства (12) следует, что , т. е. . Это и означает, что ряд Маклорена (10) сходится на (-R, R) и его сумма равна f(х). Теорема доказана