X0 принадлежащий (a; b) и проведем через точку m0 касательную.
Ее уравнение y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0). Мы должны показать, что график
функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том
же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината
касательной.Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим y
ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда
y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0).Следовательно, разность ординат кривой и
касательной при одном и том же значении x будет
y-y=f(x)-f(x0)-f'(x)(x-x0).
Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа
f(x)-f(x0)=f'(c)*(x-x0),где c между x и x0.
Таким образом,y-y=f’(c)*(x-x0)- f'(x0)*(x-x0)=[f’(c)-f’(x0)]*(x-x0).
К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему
Лагранжа:y-y=f’’(c1)*(c-c0)*(x-x0) , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0.
Определим знак произведения второго и третьего сомножителей:
1.)Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно, (x – x0) > 0 и (c – x0) > 0.
Поэтому y-y<0.
2.) Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0.
Поэтому вновь y-y<0.
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех
значениях x и x0 принадлежащие (a; b), а это значит, что кривая выпукла.
Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой,
называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает
кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.
Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.
Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.
Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0.
Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.
Билет№8 Построение графиков ф-и путём полного исследования.
План исследования: 1)Найти область орпеделения 2)исследовать ф-ю на периодичность 3)Иследование ф-и на чётность 4)Найти точки пересечения графиков с осями координат и определить интервалы законопостоянства ф-и. 5)Иследовать поведение ф-и на границах области определения,найти ассимтоты. 6)Найти промежутки возрастания и убывания ф-и, точки экстремума. 7)Исследовать направление выпуклости. найти точки перегиба. 8)Составить таблицу для аргументов. 9)Построить график.
Билет №9.Задачи приводящие к понятию первообразной. Определение: Ф-я F(x) наз-ся первообразной для f(x) на (a;b)если ∀x∈(a;b) F’(x)=f(x).
Основная теорема о первооб. 1)Если F-первообразная для f на(a;b), то ∀ сєR y=F(x)+c-тоже первообразная. 2)Если F и Ф-первообразные для f на (a;b), то ∃ пренадл-е Ф(x)=F(x)+c , ∀ x єR. Док-во:1)пусть F(x) первообразная для f на (a;b),тогда (F(x)+c)’= (F(x))’+(c)’=f(x)+0=f(x) это означает, что F(x)+c также является первообразной дляf(x) 2)Пусть теперь F(x) и G(x)-2 первообразные для функции y=f(x),т.е F’(x)=G’(x)=f(x),тогда по теореме(если ф-я y=f(x) и y=g(x) непрерывны на (a;b) и имеют равные производные во всех внутренних точках отрезка,то разность этих ф-й постоянна f(x)-g(x)=c).Разность G(x)-F(x)-постоянна,т.е G(x)-F(x)=с откуда G(x)=F(x)+c. Основное геометрическое тождество: Графики всех первообразных должной ф-и находятся путём параллельного переноса одной из них вдоль оси на С. Три правила нахождения первообразных:
1)Если F-есть первообразная для f, а G-для g,то f+g=(F+G)’
2) Если F-есть первообразная для f и k и b постоянны,b-не равняется нулю,то 1/n*F(kx+b)-первообразная для f(kx+b),т.е (1/n*F(kx+b)’=f(kx+b).
3) Если F-есть первообразная для f, а k-постоянная ,то kF-есть первообразная для kf,т.е (kF)’=kf.
_________________________ 10. Понятие неопределенного интеграла. Простейшие свойства.
Понятие неопределенного интеграла: Если y=f(x) имеет на (а;b) хотябы одну первообразную, то совокупность всех её первообразных на данном интервале называется неопределенным интегралом.
dx={y=F(x)+C
: CєR, для любого xє(a;b) F’(x)=f(x) }
dx=F(x)+C
Пример: ∫(sinx)dx=-cosx+C
Свойства: 1)Вычисление неопределенного интеграла, т.е. первообразной – это операция обратная нахождению производной. ( dx)’=f(x)
2)Если
f-интегрируема на X fє J(x) и CєR => CfєJ(x).
C
dx=
dx
Док-во: Пусть F(x)-певообр. f(x), тогда (сF(x))’=cF’(x=0*f(x)) левая часть =cF(x)+константа, т.е. с*(F(x)+c)=c* dx . dx= C dx
3) Если функции f,gєJ(x)=> f±gєJ(x)
∫(f(x)±g(x))dx=
dx
±
dx.
Существует
F,G: F’(x)=f(x), G’(x)=g(x) ∀
xєX
Рассмотрим (F(x)+G(x))’=F’(x)+G’(x)=f(x)+g(x), ∀ xєX=> ∫(f(x)+g(x))dx=F(x)+G(x)+c
∫d(F(x))=F(x)+c
Билет 11. Интегрирование методом подстановки в неопределенном интеграле.
Теорема: ∐ ф-я y=f(x) непрерывна и дифференцируема на (а;b) может быть представлено в виде g(t), где t=φ(x)-диф-ма на интервале T. Если при этом g(t)-первоб-я для g(x) на Т, то интеграл от f(x)=G(f(x))+c
Док-во: по условию ∀ x из (а;b) f(x)=g(φ(x))
G’(t)=g(t) ∀ tєT. (G(φ(x)))’=G’(t)*φ(x)=g(t)*φ’(x)=g(φ(x))*φ’(x)=>∫f(x)dx=∫f(x)=
Пример:
∫(5х-7)⁴dx=↕t=5x-7,
dt=5dx, dx=
dt↕=∫t⁴*
dt=
*
+c=
+c
Замечание: Иногда приходиться применять подстановку вида х=φ(t). В этом случае сводят к прежнему, если удается выразить t через х, для этого необходимо, чтобы ф-я φ была обратима, т.е. если сущ. T=φ⁻(x) , в таких случаях обратимость гарантируема монотонностью φ.
Пример:
∫
dx=↕x=a*sint,
dx=a*cos*dt, (-
)
≤t≤(
),
=a
=a*cost↕=∫
a*cost *a*costdt=
∫
dt=
∫(
)dt=
(∫dt+∫cos2tdt)=
*(t+
)+c=
(
+sin2t)=
(x
)+c
____________________________________ Билет 12. Метод интегрирования по частям.
Теорема: Если функции y=u(x), y=v(x) на интервале (а;в) непрерывна и диффер-я, то имеет место следующая формула: ∫u(x)*v ’(x)dx=u(x)*v(x)-∫u’(x)*v(x)dx (∗)
Док-во: т.к. y=u(x), y=v(x) на интервале (а;b) непрерывна и диффер-я => u’(x), v’(x) тоже непр и диф.
Расмотрим (u*v)’=u’v+uv’ в каждой точке (а;b) => по опр. Интеграла ∫(u’v+uv’)dx=u(x)v(x)+c => ∫u(x)*v ’(x)dx= u(x)*v(x)-∫u’(x)*v(x)dx
Замечание: Используя формулы дифференциалов, формулу (∗) можно записать след. образом: ∫u(x)*d v (x) =u(x)*v(x)-∫v(x)*d u(x)
∫f(x)dx=∫u(x)*v
‘(x)dx , Пример:
∫x
dx=↕u=x => u’=1 ,
=v’
=> v=
↕=x
∫
dx=
x
+c
Билет 13. Понятие дробно-рациональной функции и их интегрирование.
Pn(x)=a₀xⁿ+a₁
+…+
x+anx₀≠0
Опр:
Дроб-рац ф-ей наз-ся ф-я вида y=
,
Pn(x), Qm(x)- многочлены
Опр: дробно-рац ф-я наз-ся правильной, если m>n; n≥m – ф-я неправильная
Теорема:
Всякая неправильная дроб-рац ф-я может
представляться в виде суммы многочлена
и правильной дробно-рац. ф-ии . n≥m =>
=
(X)+
,
где k<m, H,R,Q-многочлены.
Cреди правильных дроб-рац. функций выделяется 4 простейших вида:
-линейная
ф-я В≠0
-n-кратный
В≠0
,
при
>0
Теорема: Любая правильная дробно-рац. ф-я может быть представлена виде суммы простейших др-рац ф-ий.
илет 14. Интегралы от простейших дробно-рациональных функций.
1.
∫
dx=↕Bx+C=t,
x=
dx=
dt↕=A*∫
=
∫
=
ln(t)+c=
ln(Bx+C)+c;
cєR
2.∫
=↕Bx+C=t,
dt=Bdx↕=A∫
=
∫t⁻ⁿdt=
*
+c=
*
+c;
n>1, B≠0
3.∫
=↕∫
=ln(f(x))+c,
=
↕=∫
dx=
*ln|a
+bx+c|+(B-
)*∫
=
*ln|a
+bx+c|+(B-
)*∫
=
*ln|a
+bx+c|+(B-
)*∫
=↕t=x+
,
dx=dt↕=↕∫
=
↕=
*ln|a
+bx+c|+(B-
)(
)=
*ln|a
+bx+c|+
(B-
(
)=
4.∫
=↕t=
x+
,
=
↕=A∫
+(
B-
)∫
1)
A∫
=A
∫
d(
)=
+c
2)
=∫
=
∫
=
(∫
∫
)=
(
)
3)
=↕u=t
, du=
du=dt
, v=
∫
d(
=
↕=
∫
=
4)
)
(
=
; ∫
=
Пример:
∫
=∫dx+∫
=↕
+
↕=1=A(
)+
x=1
=> 1=2A => A=
; x=0 => 1=
C
=> C=
Билет №15.ИНТЕГРИРОВАНИЕ Дробно-рацион-х фун-ий,
Иррациональные
функции вида y=R(x;
)
Выражение в которых х и корень подтверждаются арифметическим
операциям.
Пример : y=((
+
)/
)=1+
;
∫R(
dx;
Предполагаем что R-рациональная
функция
и
≠0
воспользуемся подстановкой
= t
тогда
(ax+b)/(cx+d)=
;
x=(c
-a)/(b-d
) ⟹ dx=((n(bc-ad)
dt)
/
откуда
∫
R(
dx
=
t=
∫
(t)dt
,где R
– рациональная фун-ия .
Подстановки Эйлера .
Т.е.
интегрирование фун-ий R(x;
)
⟹
1)
t=
)
± x
при
a>0
2)t=(
)/(x-
)
при b>0
3)t=
(
) ±x
при с>0
Sh(x)=
-синус
гиперболический
a, b, c – постоянные ;R-рациональные функции все они
приводятся к интегралу от рациональных функции с помощью
1-ой и 3-х подстановок.
Биноминальные интегралы называются интегралы вида
m,
n,
p∈Q(рациональн.)
1)
p-целое
p>0
возводя a+b
в степень p
приводим (*)
к интегралу линейной комбинации функций p-целое p<0
пусть N- общий знаменатель рациональных чисел m и n :
m=k/N
n=l/N
, где k
и l-целые.
Положим x=
. Тогда
dx=
dz
и
∫
dx= N *∫
(a+b
)′*
dz
p-
нецелое
Тогда
=
=
dx
= (1/n)*
dz
и
dx
=
=(1/n)*
*
dz
2) (m+1)/n-целое если p= r/s где s∈N(натуральн.) r∈Z(целые)
то
dx=
dz
,где R-функция
∈Q
и
u=
пусть
(m+1)/n
–нецелое
dx=(1/n)*
)*
dz
3)(m+1)/n+p
– целое ,
(s-знаменатель)
Числа
p
и R
–функция Q
то u=
Билет №16.Интегрирование тригонометрических функций вида R(sin(x),cos(x)) Универсальная подстановка. Обзор других подстановок1)Универсальная тригонометрическая подстановка
t=tg(x/2) ⟹x=arctg(t) ⟹ sin(x)=sin(2-x/2)=2sin(x/2)*cos(x/2)=
(2sin(x/2)*Cos(x/2))/
(
+
))=
=
Cos(x)=
-
=
*
(1-
=
(1-
)/
(1+
)
t=tg(x/2) ⟹arctg=x/2⟹2arctg(t)
-П/2<x/2<П/2 dx=2dt/(1+t^2)
=
2)∫R(tg(x))dx где R-рациональная фун-ия. В этом случае обычно более
просто применить подстановку tg(x)=t тогда x=arctg(t) dx=(dt)/(1+ )
и ∫R(tg(x))dx=∫R(t) (dt)/(1+ )=∫ (t)dt где -рацион.фун-ия.
3)∫
(sin(x)
cos(x)
)dx
〗
∫
(cos(x)
sin(x)
)dx
где
и
-рацион.фун-ии
Эти интегралы как правило лучше привести к интегралу от рацион.
фун-ии подстановкой sin(x)=t или cos(x)=t,
∫
*
dx
=
=
=
где m
и n
∈Z
одно из них
нечетно ; Если n нечетно n=2k+1 (n∈Z) применимо sin(x)=t
Если m нечетно то cos(x)=t
4)
Метод удвоения угла, Если в интеграле
dx
m
и n-
четные то его можно привести к виду
dx=
=
и применить
подстановку tg(x)=t
Билет№17.Задачи приводящие к понятию определенного интеграла.
Определение интеграла Римана: основные понятия.
пусть y=f(x)-непрерывна на [a, b]