43. Закон инерции квадратичных форм

Положительный и отрицательный индексы инерции – число положительных квадратов в каноническом виде в матрице. Отрицательный индекс инерции = r – полож. индекс, их разность – сигнатура.

Теорема. Положительный и отрицательный индексы инерции не зависят от выбора канон. базиса.

рассматриваем два разных представления А(х,х), предполагаем что отрицательных меньше, потом смотрим оболочки натянутые на разные вектора базиса, в пересечении образуется ненулевой вектор, смотрим его квадратичную форму и приходим к противоречию.

Сигнатурное правило Якоби.

полож индекс инерции равен количеству совпадений знака в последовательности угловых миноров, отриц – различиям выходит из формул Якоби

44. Приведение квадр формы к главным осям.

теорема. для любой квадр. формы в евкл пр-ве существует о/н базис, в котором она имеет канонический вид.

док-во. матрица квадратичной формы – симметрическая – она подобна диагональной – в нужном о/н базисе она имеет канонический вид.

Для приведения к главным осям, находим с. зн-я матрицы, о/н базис из с.в. и строим канонический вид в этом базисе.

Теорема. Канонические коэффициенты квадратичной формы, приведенной к главным осям, определены однозначно. док-во. по диагонали будут собственные значения матрицы квадр формы – они определены однозначно.

45. одновременное приведение двух квадр форм к главным осям.

Теорема. для любой пары квадратичных форм А(х,х) и В(х,х), одна из которых положительно определена, существует общий базис, в котором обе они имеют канонический вид.

Док-во. Вводим скал. произведение по полярной бф к положительной кв форме В(х,х) – пространство стало евклидовым. А значит, существует о/н базис, в котором квадр форма А имеет канонический вид. При этом В(х,х) = сумма |x_i|²

Можно строить базис так: сначала находим корни уравнения |A-лB| = 0, потом вектора удовлетворяющие Ax = лBx

46. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Если А(х,х) > 0 – форма положительно определена. Она положительно определена титтк её матрица положительно определена.

Теорема. Квадр форма положительно определена титтк её положительный индекс инерции совпадает с размерностью пространства. Необх-ть. Если > 0 то все канонические коэффициенты положительны – индекс равен размерности Дост-ть. Если все коэфф положительны (+индекс равен размерности) – действие кв формы раскладывается на сумму произведений положительных коэффициентов на квадраты координат вектора – форма полож определена.

Для отрицательной смотрим – А(х,х)

Следствие. Определитель матрицы полож опред формы >0.

Критерий Сильвестра

Квадр. форма положительно (отрицательно) определена титтк все угловые миноры в произвольном базисе положительны (чередуют знаки, начиная с отрицательного). Док-во. Необх-ть. смотрим подпространства и квадратичные формы на них. Матрица суженной формы останется положительно определенной и её определитель будет >0 а это и есть угловые миноры Дост-ть из сигнатурного правила

Для отрицательно определенной получаем что соседние угловые миноры всегда разного знака.

47. Общий вид скалярного произведения в конечномерном евкл и унит пространстве.

Теорема. Отображение является скалярным произведением титтк оно является билинейной формой, полярной к положительно определенной квадратичной форме. необходимость была, достаточность : (х,у) = А(х,у), где А – полярная бф к положительно опред квадр форме – скал произведение, удовлетворяет всем требованиям.

Это общий вид скал произведения в вещ пространстве.

Получается, (х,у) = y^TAx

48. Гиперповерхность второго порядка в евклидовом пространстве. Приведенные уравнения.

Пусть А(х,х) – ненулевая квадратичная форма, g(x) – линейная форма, с – вещ константа.

Множество всех векторов х, удовлетворяющих

А(х,х) + 2g(x) + c = 0 Называется гиперповерхностью второго порядка в евклидовом пространстве. Это уравнение – общее уравнение гиперповерхности второго порядка.

Если задать матрицей то Х^ТАХ + 2b^TX + c = 0

Приведенные уравнения. е – о/н базис, приводим квадр. форму к главным осям, принимаем что первые r коэффициентов ненулевые.

При переходе от базиса к е к f = eQ уравнение ортогональным преобразованием преобразуется в уравнение сумма(1..r) л_кх_к’² + 2сумма(1..n) b’_kx_k’ + c = 0

2. Пусть а из Е, отображение ф: х +а – параллельный перенос пространства на вектор а.

Если л_к не 0, то можно избавиться от первой степени, преобразовав х параллельным переносом.

3. два случая – есть ненулевые b’ и их нет Если их нет, то уравнение – сумма квадратов и какой то константы.

короче какой то там бред пошел и в итоге получим сумму лямбда на квадраты и константы, либо тож самое и еще b0x_r+1 Это приведенные уравнения гиперповерхности.

49. Нормированное пространство. Нормы Гёльдера.

Нормой называется отображение V -> R ставящее в соответствие каждому вектору число. И удовлетворяющее 4 акс 1) ||x||>= 0, равен 0 титтк x = 0 2) ||ax|| = a||x|| 3) ||x+y|| <= ||x|| + ||y||

Линейное пространство с заданной нормой зовется линейным нормированным пространством. Функция нормы: f(x) = ||x||

||x||p = корень p степени из суммы p степеней координат

Теорема. функция ||x||p является нормой. Док-во. все аксиомы, кроме третьей, тривиальны.

Докажем неравенство Минковского:

Для этого сначала надо доказать неравенства Юнга и Гёльдера:

Лемма 1. нер-во Юнга. Если p,q>=1, 1/p + 1/q = 1 то для любых a >= 0, b>=0

Док-во. Это следует из того, что ln(ax1 + bx2) >= alnx1 + blnx2 Положив a = 1/p, b = 1/q получаем что было.

Лемма 2. Нер-во Гёльдера.

Введем x’ = x/||x||p и аналогично y. Получаем из неравенства Юнга, |x’k||y’k| <= |x’k|^p/p + |y’k|^q/q – просуммируем и получим интересное:

Заменяем на отношения:

Учитывая что нормы x’ и y’ равны 1, получим как раз неравенство Гёльдера.

Саму теорему докажем лишь после того, как представим

Применяем неравенство Гёльдера (q = 1 – 1/p):

Учитывая что (p-1)q = p, выносим общий множитель за скобки, делим на этот множитель обе части и получаем нужное.