методички / 4046 ЭИ
.pdf
После разблокировки рукояти 4 она поднимается под действием пружины 5 и переводит грузы в положении максимального приближения к оси вращения. Тем самым происходит изменение момента инерции механизма относительно вертикальной оси вращения. Если перед разблокировкой рукояти привести механизм во вращение, то при подъеме рукояти будет наблюдаться увеличение частоты вращения, связанное со стремлением системы сохранить кинетический момент.
Рис. 1. Схема установки ТМд-21
В данной лабораторной работе предполагается оценить изменение частоты вращения при изменении пространственной конфигурации механизма опытным и расчетным путем.
Порядок выполнения работы
Экспериментальная часть
1.Измерить расстояние от грузов до оси вращения при раздвинутом положении механизма и зафиксированной рукоятке. Результат перевести в метры и занести в таблицу 1.
2.Раскрутить механизм до произвольной частоты вращения, фиксируемой по тахометру. Результат занести в табл. 1.
3.Быстро, не допуская замедления вращения под действием момента сопротивления, освободить рукоятку от фиксации и перевести механизм в положение
41
сдвинутых грузов. Сразу же заметить частоту вращения по тахометру и занести результат в табл. 1.
4. После остановки механизма замерить расстояние от грузов до оси вращения при конечном положении грузов. Результат в метрах занести в табл. 1.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние |
Частота |
Частота |
Расстояние |
Угловая |
Угловая |
№ |
до грузов в |
вращения в |
вращения в |
до грузов в |
скорость в |
скорость в |
эксп. |
положении 1 |
положении 1 |
положении 2 |
положении 2 |
положении 1 |
положении 2 |
|
механизма |
механизма |
механизма |
механизма |
механизма |
механизма |
|
|
|
|
|
|
|
|
r1, м |
n1, м |
n2, м |
r2, м |
ω1, м |
ω2, м |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчетная часть
1. Пересчитать частоту вращения (обороты в минуту) в значение угловой скорости (радианы в секунду), записать в табл. 1 отчета:
i ni …[рад/с]. 30
2. Принимая массу каждого из грузов mгр равной 500 гр., рассчитать момент инерции грузов относительно оси вращения для двух положений механизма по формуле (считаем грузы материальной точкой и пренебрегаем вращением грузов вокруг собственной оси).
J гр i 2mгр ri2 …[кг·м2].
3. Приняв момент инерции остальных частей механизма постоянным и равным Jмех= 0,002 кг·м2, определить суммарный момент инерции для двух положений механизма, используя свойство аддитивности (суммируемости) моментов инерции:
Jz i J мех Jг рi …[кг·м2].
4. Определить кинетический момент механизма при первом положении грузов:
Kz J z1 1 …[кг·м2/с].
Полученное значение занести в табл. 2 отчета.
42
5. На основании закона о сохранении кинетического момента вычислить угловую скорость механизма, которую он должен иметь при переводе грузов в положение 2:
* |
|
Kz |
…[рад/с]. |
|
|||
2 |
|
J z 2 |
|
|
|
|
6. Сравнить полученное значение угловой скорости с величиной, полученной в ходе эксперимента. Определить относительную погрешность результата эксперимента.
Записать в табл. 2.
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
100% . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
*2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Момент |
Момент |
Момент |
Момент |
Кинетический |
Расчетная |
Погрешность |
|||
№ |
инерции |
инерции |
инерции |
инерции |
момент |
угловая |
эксперимента |
|||
грузов в |
грузов в |
системы в |
системы в |
системы |
скорость в |
|
||||
эксп. |
|
|||||||||
положении 1 |
положении 2 |
положении 1 |
положении 2 |
|
положении 2 |
|
||||
|
механизма |
механизма |
механизма |
механизма |
|
механизма |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Jгр1, кг·м2 |
Jгр2, кг·м2 |
Jz1, кг·м2 |
Jz2, кг·м2 |
Kz, кг·м2/с |
ω2*, рад/с |
δ, % |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Сделать выводы по проделанной работе и ответить на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1.Что называют моментом инерции точки?
2.Что называют кинетическим моментом точки?
3.Назовите причину, по которой может измениться момент инерции механической системы.
4.Назовите причину, по которой может измениться кинетический момент механической системы.
5.Назовите причину, по которой может измениться угловая скорость вращения механической системы. Перечислите все варианты.
43
Лабораторная работа № 8
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ РОТОРА
Цель работы: определить момент инерции ротора установки ТМд-10, исключив трение в подшипниках.
Теоретические сведения
Кинетическим моментом материальной точки относительно некоторого центра называют момент вектора количества движения точки относительно данного центра.
Его определяют по тому же правилу, что и момент силы, то есть это вектор равный по
|
|
|
|
|
плечо h (иначе |
|
модулю произведению модуля вектора количества движения mυ на |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
говоря, кратчайшее расстояние от моментной точки до линии действия вектора mυ ), и |
||||||
направленный |
перпендикулярно |
плоскости, |
проходящей через моментную точку и |
|||
линию действия |
|
|
|
|
|
О |
этого вектора в сторону, откуда вектор mυ относительно точки |
||||||
представляется направленным против хода часовой стрелки (см. рис. 1). |
|
|||||
Математически это записывается в виде: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KO |
r |
mυ , |
|
|
а по модулю он равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
K o mυ h . |
|
|
||
Кинетический момент материальной точки относительно оси, например оси z, |
||||||
называется произведение проекции вектора |
количества движения |
на плоскость |
П, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярную этой оси mυxy |
mυ1 , взятое со знаком плюс или минус, на плечо h1, |
|||||
т.е. кратчайшее расстояние от этой проекции до точки О пересечения оси и плоскости
K z mυ1h1 .
Знак считают положительным, если, смотря навстречу оси z, можно видеть
проекцию mυ1 относительно точки О направленной против вращения часовой стрелки. Если обозначить координаты движущейся точки М через x, y, z, а проекции скорости
этой точки на оси координат через υx,υy,,υz, то проекции вектора кинетического момента относительно точки на оси координат, проходящие через эту точку, можно записать в аналитической форме:
Kx m yυz zυy ; K y m zυx xυz ; Kz m xυy yυx .
44
Рис. 1
Отметим, без доказательства, что кинетический момент относительно оси равен проекции на эту ось вектора кинетического момента относительно любой точки, лежащей на оси.
Кинетическим моментом механической системы относительно некоторого центра (точки) называют векторную сумму кинетических моментов всех точек системы относительно этого центра:
|
n |
|
|
KO MO mk υk |
|||
|
k 1 |
|
|
или |
|
|
|
|
n |
|
|
KO rk |
mk υk . |
||
k1
Вслучае вращательного движения тела вокруг оси Oz с угловой скоростью ω кинетический момент относительно этой оси равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения Jz на угловую скорость, то есть
Kz J z .
Имеет место следующая теорема, которую приведем без доказательства, и которая называется теоремой об изменении кинетического момента: производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо неподвижной точки равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки
dKO MO Fke . dt k 1
n
45
Эта теорема справедлива и для одной материальной точки, только нужно считать, что система состоит из одной точки.
В проекциях на оси декартовой прямоугольной системы координат теорема запишется в виде:
dKx M x Fke , |
dK y M y Fke , |
dKz M z Fke . |
||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
dt k 1 |
|
dt k 1 |
|
dt k 1 |
|
|||
Для неизменяемой системы (твердого тела) из этой теоремы следует дифференциальное уравнение вращательного движения. Действительно, так как для твердого тела момент инерции относительно оси вращения не меняется, то подставляя, например, для оси z, выражение кинетического момента, получим
J z |
d M z Fke |
|
|
|
|
|
dt |
|
или, выражая угловую скорость через угол поворота тела φ, т.е. , получим дифференциальное уравнение второго порядка
z z ke .
F
M
J
Лабораторная работа выполняется на установке ТМд-10М, схема которой приведена на рис 2. Установка состоит из основания 1 с регулирующимися по высоте ножками для надежной установки на рабочей поверхности, двух стоек 2, в которых при помощи подшипников установлена вращающаяся рамка 3 с грузами 4. Вращение рамки 3 может осуществляться вручную за рукоятку шкива 5. В данной лабораторной работе рамка приводится во вращение при помощи нити, намотанной на ступенчатый шкив 6 за счет силы тяжести, действующей на груз 7. Частота вращения рамки 3 фиксируется при помощи датчика частоты вращения 8 и выводится на экран подключаемого к установке электронного тахометра.
Рис. 2. Схема установки ТМд-10М 46
Применяя теорему об изменении кинетического который приводится во вращение грузом, подвешенным шкив, жестко связанный с валом ротора, получим вращательного движения ротора:
момента к ротору установки, на нити, переброшенной через дифференциальное уравнение
d |
(J |
m R) mg R M |
|
, |
(1) |
|
тр |
||||
dt |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Mтр – момент сил трения, который считаем постоянным. Скорость груза М связана с угловой скоростью ротора соотношение υ R . Тогда из уравнения (1) после подстановки получим
|
|
|
dυ |
( |
J z |
mR) mg R M |
|
, |
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
тр |
||||||||||
|
|
|
dt R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда, учитывая что |
dυ |
a , получим выражение для определения ускорения груза |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
R(mgR M тр ) |
. |
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
z |
mR2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величины, входящие в (3), не зависят от времени, поэтому ускорение а |
|||||||||||||||
определяется из кинематической формулы для равноускоренного движения |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2h |
, |
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
||
где h – высота опускания груза, t – время опускания. |
|
|
|
||||||||||||
Для исключения момента сил трения, опыт повторяют с грузом другой массы и |
|||||||||||||||
замеряют другое время опускания при той же высоте опускания. Получают два уравнения вида (3). Решая совместно эти уравнения, находят выражение для определения момента инерции ротора:
|
|
|
|
g |
|
m |
|
|
2 |
|
2 |
m t |
2 |
m t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(m |
|
)t |
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
J |
z |
R2 |
|
|
2h |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
2 1 |
1 2 |
. |
(5) |
|||
|
|
|
|
|
t 2 |
t 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь с индексом 1 обозначены масса груза и время движения в первом опыте, а индексом 2 – во втором опыте.
Момент сил трения можно найти, подставив найденное значение момента инерции в формулу (2) и выразив из него искомую величину.
47
Порядок выполнения работы
1.Замерить радиус шкива R и внести в табл. 1.
2.Прикрепить к нити, переброшенной через шкив груз, и занести его массу m1 в таблицу.
3.Освободить шкив, замерить высоту и время опускания груза, занести в табл. 1.
4.Повторить опыт с грузом массы m2 для тех же схем расположения грузов на
роторе.
5.Определить значение момента инерции по формуле:
|
|
|
|
g |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(m1 m2 )t1 t2 |
m2t1 |
m1t2 |
|
||
|
|
|
2h |
|||||||
J |
z |
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
t 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изанести полученное значение в табл. 1.
6.Определить момент сил трения по формуле
|
2h |
|
2hJ |
z |
|
|
M тр Rm g |
|
|
|
|
, |
|
t 2 |
|
|
||||
|
|
|
Rt 2 |
|||
результат занести в табл. 1.
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
R, м |
m, кг |
t, c |
h, м |
Jz, кг·м2 |
Мтр, Н м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Сделать вывод по проделанной работе.
Контрольные вопросы
1.Что называют кинетическим моментом материальной точки относительно центра
иоси?
2.Что называют кинетическим моментом механической системы относительно центра и оси?
3.Как записывается выражение теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси?
4.Как записывается дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси?
5.Сформулируйте законы сохранения кинетического момента.
48
Лабораторная работа № 9
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Цель работы: используя теорему об изменении кинетической энергии определить момент инерции подвижных частей установки ТМд-10 относительно оси вращения; убедиться на практике в выполнении теоремы об изменении кинетической энергии.
Теоретические сведения
Элементарная работа силы определяется одной из формул
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA F d r |
F ds cos F ds Fx dx Fy dy Fz dz F |
υdt , |
|
|||||
|
|
вектор |
элементарного перемещения точки |
приложения силы |
|
||||||
здесь dr |
υ dt |
F , по |
|||||||||
модулю ds |
|
υdt , υ – скорость точки; F F cos – проекция силы на направление |
|||||||||
d r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорости точки; dx, dy, dz – проекции вектора d r на оси координат. |
|
|
|
||||||||
Элементарная |
работа |
момента силы относительно |
оси |
вращения Mz |
равна |
||||||
dA M z d , где z – ось вращения, φ – угол поворота тела. |
|
|
|
|
|
||||||
Полная работа силы на конечном перемещении из положения М0 |
в М определяется |
||||||||||
криволинейным интегралом |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
M |
|
M |
M |
M |
|
|
M |
|
|
|
A F |
d r |
F ds cos (Fxdx Fydy Fz dz) |
F |
υdt F ds |
|
|||||
|
|
M O |
|
M O |
M O |
M O |
|
|
M O |
|
|
Если проекция силы F F cos величина постоянная, то работа силы равна
A F s cos ,
где s – путь пройденный точкой. Полная работа момента силы равна:
A M z d .
O
Если вращающий момент величина постоянная, т.е. Mz = const, то работу определяют по формуле
A M z .
49
Работу в единицу времени называют мощностью и обозначают N. Тогда по определению:
|
|
|
N |
dA |
Fυ cos M |
|
|
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
здесь ω – угловая скорость вращения тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Размерность работы: |
кг м2 |
н м дж |
– |
|
джоуль, |
размерность мощности |
||||||||||||||
сек2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вт |
дж |
– ватт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
сек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mυ |
2 |
|
|
|||
Кинетическая энергия материальной точки равна |
|
|
или |
mυ |
. |
|||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кинетической энергией механической системы называют сумму кинетических |
||||||||||||||||||||
энергий всех точек системы, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m υ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
m υ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
k k |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По теореме Кенига по отношению к осям, которые движутся поступательно вместе с центром масс, кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс
T |
Mυ2 |
T . |
c |
||
|
||
|
2 |
C |
|
|
Отсюда следуют формулы вычисления кинетической энергии твердых тел.
При поступательном движении
T 12 Mυ2 ,
где υ – скорость любой точки тела.
При вращательном движении вокруг неподвижной оси
T 12 J z 2 ,
где Jz – момент инерции тела относительно оси вращения, ω – угловая скорость вращательного движения.
При плоском движении тела
T 12 MυC2 12 JCz 2 .
50