Коэффициент корреляции

Перейдем к оценке тесноты корреляционной за­висимости. Рассмотрим наиболее важный для практики и тео­рии случай линейной зависимости.

На первый взгляд подходящим измерителем тесноты связи у от х является коэффициент регрессии b_ух, так как он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется у, когда х увеличивается на одну единицу. Однако b_yx зависит от единиц измерения переменных.

Очевидно, что для «исправления» b_ух как показателя тесноты связи нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Статистика знает такую систему еди­ниц. Эта система использует в качестве единицы измерения пе­ременной ее среднее квадратическое отклонение .

Введем формулу:

.

В ней r_yx показывает, на сколько величин изменится в среднем y, когда x увеличится на одно значение .

Величина r является показателем тесноты линейной связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции).

На рисунке 1.1 приведены две корреляционные зависимости переменной у от х. Очевидно, что в случае а) зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б), так как точки корреляционного поля а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б).

Рис. 1.1 Корреляционные зависимости

Нетрудно видеть, что r совпадает по знаку с b_ух (а значит, и с b_ху).

Если r > 0 (b_ух>0, b_ху>0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если r < 0 (b_ух<0, b_ху<0) — об­ратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из пе­ременных ведет к увеличению (уменьшению) условной (группо­вой) средней другой.

Формулу для r можно представить в виде:

r = ,

т.е. формула для r симметрична относительно двух переменных, и переменные у и х можно менять местами. Тогда аналогично формуле: можно записать: . Найдя произведение обеих частей равенств получим: r²= = b_ухb_ху или r= , т.е. коэффициент корреляции r переменных у и х есть средняя геометрическая коэффициентов регрессии, имеющая их знак.

Основные свойства коэффициента корреляции (при достаточно большом объеме выборки n):

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1,1], т.е.

-1 ≤ r ≤ 1.

В зависимости от того, насколько |r| приближается к 1, раз­личают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную, т.е. чем ближе |r| к 1, тем теснее связь.

2. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на од­но и то же число или в одно и то же число раз, то величина ко­эффициента корреляции не изменится.

3. При r корреляционная связь представляет линейную функ­циональную зависимость. При этом линии регрессии у пo х и х пo у совпа­дают и все наблюдаемые значения располагаются на обшей прямой (рис. 1.2.).

Рис.1.2 График линейной функциональной зависимости

4. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутству­ет. При этом групповые средние переменных совпадают с их об­щими средними, а линии регрессии у пo х и х пo у параллельны осям координат.

Если r = 0, то коэффициент b_ух=b_ху=0, и линии регрессии имеют вид: у_х= и х_у= (рис. 1.3).

Рис. 1.3 Линии регрессии

Равенство r = 0 говорит лишь об отсутствии линейной корреля­ционной зависимости (некоррелирован­ности переменных), но не вообще об отсутствии корреляционной, а тем более статистической, зависимости.

Пример. При исследовании корреляционной зависи­мости между объемом валовой продукции у (млн. руб.) и сред­несуточной численностью работающих х (тыс. чел.) для ряда предприятий отрасли получено следующее уравнение регрессии х по у: х_у=0,2у – 2,5. Коэффициент корреляции между этими признаками оказался равным 0,8, а средний объем валовой про­дукции предприятий составил 40 млн. руб.

Найти:

а) среднее значение среднесуточной численности работающих на предпри­ятиях;

б) уравнение регрессии у по х;

в) средний объем валовой продукции на предприятиях со среднесуточной численностью работающих 4 тыс. чел.

Решение: а) Обе линии регрессии у по х и х по у пере­секаются в точке ( ), поэтому найдем по заданному уравнению регрессии при у = = 40,

т.е. = = 5,5 (тыс. чел.).

б) Учитывая, что : r²= =b_ухb_ху, вычислим коэффициент регрессии b_ух: b_ух= .

По формуле получим уравнение регрессии у по х: или .

в) у_х=4 найдем по полученному уравнению регрессии у по х: (млн. руб.).

Пример. Найти коэффициент корреляции между производительностью труда у (тыс. руб.) и энерговооруженно­стью труда х (кВт) (в расчете на одного работающего) для 14 предприятий региона по следующим данным:

х	2,8	2,2	3,0	3,5	3,2	3,7	4,0	4,8	6,0	5,4	5,2	5,4	6,0	9,0
у	6,7	6,9	7,2	7,3	8,4	8,8	9,1	9,8	10,6	10,7	11,1	11,8	12,1	12,4

Решение. Вычислим необходимые суммы:

Используя еще один вариант формулы для расчета r, получим:

Значение r=0,898 говорит о тесной связи между переменными.

23