- •Теория оболочек
- •1. Безмоментная теория оболочек вращения.
- •1.1. Общие замечания.
- •1.2. Уравнения равновесия осесимметрично нагруженных оболочек.
- •1. Сферическая оболочка.
- •2. Цилиндрическая оболочка.
- •3. Коническая оболочка.
- •1.4. Тороидальная (торовая) оболочка.
- •1.3. Физические и геометрические зависимости.
- •2. Моментная теория осесимметрично нагруженных цилиндрических оболочек
- •2.1. Общие замечания
- •2.2 Уравнения равновесия
- •2.3 Геометрические соотношения
- •2.4 Физические зависимости
- •2.5 Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях
2. Моментная теория осесимметрично нагруженных цилиндрических оболочек
2.1. Общие замечания
Предположим, что круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины находится под нагрузкой , продольная компонента которой отсутствует. Оси координат расположены, как на Рис.2.1.
В оболочке возникает осесимметричное напряженное состояние, которое будет характеризоваться следующими силовыми факторами (Рис.2.2)
(2.1)
(2.2)
Вследствие осевой симметрии кососимметричные факторы
(2.3)
а величины (2.1), (2.2) не зависят от координаты , а только от .
Для цилиндрической оболочки имеем
(2.4)
2.2 Уравнения равновесия
Выделим элемент срединной поверхности оболочки и рассмотрим его равновесие (Рис.2.3, 2.4).
Три уравнения равновесия
удовлетворяются тождественно, а остальные три уравнения дают:
(2.5)
Здесь после сокращения на не учитывались бесконечно малые высших порядков, а сила вошла во второе уравнение из-за кривизны параллели.
Здесь из первого уравнения после его интегрирования следует
, (2.6)
где в большинстве случаев нагрузка на левом торце оболочки известна, и задача по определению усилий статически определима.
Тем не менее, в оставшихся двух уравнениях содержатся три неизвестных статических величины, и задача в целом - статически неопределима.
Стало быть, необходимо обратиться к рассмотрению геометрической стороны.
2.3 Геометрические соотношения
Продольные перемещения точки, находящейся на расстоянии от срединной поверхности, будут
(2.7)
где - угол поворота нормали, согласно гипотезе, аналогичной гипотезе Кирхгоффа в теории прямоугольных пластин.
Продольная деформация с учетом (2.7) принимает вид
, (2.8)
где - удлинение срединной поверхности, а - изменение кривизны меридиана в продольном направлении. Деформация волокна, расположенного в окружном направлении на расстоянии от срединной поверхности,
Здесь учтено, что . Если учесть также, что толщина пластины мала по сравнению с радиусом ( ), то
(2.9)
Теперь рассмотрим физическую сторону задачи.
2.4 Физические зависимости
Зависимости обобщенного закона Гука примем в виде (1.8).
Обратные соотношения имеют вид
(2.10)
Предполагается, что температура меняется по толщине оболочки, но является осесимметричной функцией .
Подставляя в формулы для напряжений выражения для деформаций, получаем
(2.11)
Внося эти зависимости в выражения для усилий (2.1), (2.2), получаем
Здесь обозначены цилиндрическая жесткость
и температурные параметры