12.2. Моделирование электрических цепей

Для расчета режима работы электрических цепей, содержащих любые комбинации сопротивлений R, индуктивностей L и емкостей С, используется связь между падением напряжения на элементе цепи и силой тока в нем. Эта зависимость описывается законом Ома U=RI для резистивного элемента, характеризующегося электрическим сопротивлением; для индуктивного элемента – законом для емкостного элемента где q-заряд емкостного элемента.

Резистивный, индуктивный и емкостный элементы цепи относятся к пассивным элементам цепи, к активным же элементам относятся так называемые источники электродвижущей силы (ЭДС) и источники тока.

Основными законами электрических цепей являются законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма всех токов, подходящих к любой точке цепи, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма падений напряжений на любой последовательности элементов, образующих замкнутую цепь, равна нулю.

Решение типовых примеров

Пример 3. Электрический контур состоит из последовательно включенных (рис.12.4) источника тока с постоянной ЭДС сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Исследовать ток I(t) в цепи в зависимости от времени t.

Р ешение. В момент времени t падение напряжения на сопротивлении на индуктивном элементе на емкостном элементе (предполагается, что включение цепи происходит в момент времени t=0). По второму закону Кирхгофа т.е.

После дифференцирования полученного соотношения приходим к однородному уравнению

Начальные данные: Характеристическое уравнение имеет корни

Так как R,C,L - положительные, то и . Таким образом, как следует из структуры общего решения,

Если то

Учитывая начальные данные, имеем

Следовательно,

Если то

Используя начальные данные, имеем

Если то

Отсюда, используя начальные данные, получаем,

П ример 4. Рассмотреть процесс, протекающий при размыкании электрической цепи (рис.12.5). Найти напряжение между размыкающими контактами.

Решение. Составим дифференциальное уравнение для цепи после размыкания ключа К. По второму закону Кирхгофа имеем

Решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному, называется свободным током

Частное решение неоднородного уравнения называется установившимся током ; для данного уравнения Следовательно,

Использовав начальные данные задачи, имеем

Примеры для самостоятельного решения

12.2.1. Электрический контур состоит из последовательно включенных источника тока сопротивления R, индуктивности L и емкости С (см. рис.12.3). Составить дифференциальное уравнение тока в цепи в зависимости от времени t.

12.2.2. К цепи, состоящей из емкости С и индуктивности L, соединенных последовательно, в момент времени t=0 приложена ЭДС Начальный ток и заряд равны нулю. Определить силу тока в цепи в момент t при условии, что

12.2.3. К описанной в задаче 12.2.2 цепи с нулевыми начальными током и зарядом в момент t=0 приложена ЭДС с резонансной частотой. Определить силу тока в цепи в момент t.

12.2.4. Уравнение электрического тока в цепи, содержащей индуктивность и сопротивление, имеет вид

где L-индуктивность; I-сила тока; t-время; R-сопротивление; Е-ЭДС. Определить I, предполагая, что:

а)

б) постоянная;

в)

12.2.5. Уравнение электрического тока в некоторой цепи имеет вид

где сила тока в цепи в момент времени t; R, С - постоянные. Определить I(t), предполагая, что:

а) постоянная;

б)

1 2.2.6. Колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, обладает емкостью С, самоиндукцией L и сопротивлением R. При переходе энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно напряжение на конденсаторе уменьшается за счет сопротивления. Составить дифференциальное уравнение изменения заряда конденсатора q, силы тока I и напряжения U на конденсаторе. Найти закон изменения заряда q конденсатора, если в начальный момент времени максимальный заряд на конденсаторе равен Q, а ток в цепи отсутствует.

12.2.7. Электрическая цепь состоит из индуктивного L, емкостного С и резистивного R элементов и источника напряжения соединенных так, как показано на рис.12.6. В момент времени t=0 ключ К замыкает цепь. Составить дифференциальное уравнение изменения заряда q емкостного элемента в зависимости от времени. (Указание. Воспользоваться вторым законом Кирхгофа.)

12.2.8. К катушке с сопротивлением R и самоиндукцией L приложена ЭДС Е, изменяющаяся со временем по закону Найти силу тока I в цепи, если I=0 при t=0.

12.2.9. К резистору сопротивлением R, обладающему индуктивностью L, приложена ЭДС, равная Начальный ток равен нулю. Составить дифференциальное уравнение тока в цепи. Найти силу тока в момент времени t.

12.2.10. Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью С, катушки с сопротивлением R и индуктивностью элемента L. Найти зависимость силы тока от времени в катушке, подверженной действию постоянной ЭДС, равной , если в начальный момент времени сила тока равна нулю и

12.2.11. Цепь состоит из последовательно включенных сопротивления, индуктивности и емкости. Начальные ток и заряд равны нулю. К цепи приложена ЭДС, равная при и при постоянные). Показать, что при сила тока в цепи

где