3.3. Статические характеристики объекта

Статическая характеристика объекта - это зависимость выходной величины от входной при неизменных во времени (установившихся) значениях входа и выхода. Статическая характеристика y=f(x) может быть получена путём подстановки в дифференциальное уравнение объекта условий установившегося режима:

Знание статической характеристики объекта необходимо для выбора номинальных значений регулируемой величины и регулирующего воздействия, для определения диапазонов регулирования, в которых регулятор может удерживать регулируемую величину на заданном значении, для оценки диапазонов линейной работы регулятора и т.п.

Статическая характеристика объекта по каналу регулирования Н=f(µ) (уровень Н в ёмкости в зависимости от положения регулирующего органа µ) определяется расходной характеристикой регулирующего органа G_р=f(µ) и зависимостью уровня от расхода воды Н= φ(G_р).

Характеристика регулирующего органа определяется коэффициентом пропускной способности K_н(µ) и перепадом давления воды ∆P_µ

Величина коэффициента K_v(µ) зависит от положения регулирующего клапана и определяется зависимостью площади проходного сечения от степени его открытия.

В установившемся статическом режиме приток воды в ёмкость равен стоку из нее. Расход воды на стоке

(3.1)

где Н₁ - перепад давлений на стоке, мм вод. ст.; K_н(x_ст1) - коэффициент пропускной способности, зависящий от положения x_ст1 вентиля на стоке.

Поскольку точная аналитическая оценка коэффициента K_v(x_ст1) затруднительна, статические характеристики ёмкостей определяются экспериментально.

3.4. Передаточные функции объекта

Из условия материального баланса изменение количества воды ёмкости за время ∂t определяется соотношением между расходами на притоке и стоке

где G_пр1, G_ст1 - расходы воды на притоке и стоке ёмкости, соответственно, кг/с; F₁ - поперечное сечение ёмкости, м²; ρ = 1000 - плотность воды, кг/м³; Н₁ - уровень воды в ёмкости, м.

Дифференциальное уравнение для ёмкости с учётом выражения (3.1) можно переписать в следующем виде

(3.2)

Это обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение с переменным коэффициентом K_v(х_ст1). Если отклонение уровня в ёмкости H₁ от номинального значения Н₁₀

достаточно мало, то нелинейное дифференциальное уравнение (3.2) можно аппроксимировать линейным дифференциальным уравнением. Для этого заменим нелинейную функцию линейной путём разложения ее в ряд Тейлора в точке Н₀ с последующим отбрасыванием членов порядка выше первого

(3.3)

Подставляя (3.3) в (3.2) и вычитая из полученного выражения уравнение статического режима     

получаем

Введём новые обозначения:

(3.4)

тогда

(3.5)

Линеаризуя аналогично расходную характеристику регулирующего органа

получим

или

После подстановки полученного выражения в (3.5), уравнение объекта по каналу регулирования принимает вид

(3.6)

Таким образом, динамика 1-о ёмкостного объекта в первом приближении описывается дифференциальным уравнением инерционного звена первого порядка (апериодического звена).

Для расчета входящих в него параметров K₁ и T₁необходимо знать площадь поперечного сечения ёмкости S₁ и величину коэффициентов гидравлического сопротивления на притоке и стоке ёмкости.

Коэффициент K₁ может быть найден по экспериментальной статической характеристике объекта . Действительно, при y₁'=0 уравнение (3.6) принимает вид и представляет собой линейную аппроксимацию реальной статической характеристики в точке с координатами (H₁₀ ,µ₁₀). Значение K₁ в этом случае будет являться тангенсом угла наклона касательной в этой точке (см. рис. 15).

Для расчета коэффициента T₁ по формуле

(3.7)

необходимо предварительно определить значение коэффициента , как тангенс угла наклона касательной, проведённой в точке (G₁₀ , H₁₀) статической характеристики Н₁ = f(G₁) (рис. 16).

_{Рис. 1}5. Определение коэффициента К₁

Рис. 16. Нахождение коэффициента

Аналогичным образом определяются коэффициенты K₂, K₃, T₂, T₃ для 2-й и 3-й детектирующих¹ ёмкостей.

Для сложного объекта, состоящего из 3-х последовательно включенных детектирующих емкостей можно записать следующую систему линейных дифференциальных уравнений

Им соответствуют передаточные функции: