Раздел 7. Реальные газы.

Пример 7.1. В баллоне ёмкостью V=20 л находится m=1,1 кг углекислого газа при температуре 13ºC (Т=286 К). Определить давление газа в баллоне, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса и уравнением состояния идеального газа.

Решение. Запишем уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы m газа:

[p+m²a/(μ²V²)]·(V-mb/μ)=mRT/μ.

Решая это уравнение относительно давления p, получим:

p=mRT/(μV-mb) - m²a/(μ²V²).

Если считать углекислый газ идеальным, то давление можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева:

р_ид =mRT/(μV).

Здесь μ – молярная масса углекислого газа; R – универсальная газовая постоянная; a = 36 Дж·м³ /моль и b=0,043·10^-3 м³ /моль – взятые из таблиц постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа.

Подставив в полученные формулы числовые данные и произведя вычисления, получим: р=25,93 · 10⁵ Па, р_ид = 29,71 · 10⁵ Па.

Пример 7.2. Вычислить для углекислого газа значения постоянных a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса, зная его критические давление р_к =73,9 ·10⁵ Па и температуру Т_к =304,1 К.

Решение. Уравнение Ван-дер-Ваальса [p+m²a/(μ²V²)]·(V-mb/μ)=mRT/μ можно записать иначе. После несложных преобразований его можно привести к виду:

V_μ³ - (b+RT/p)V_μ² + aV_μ/p - ab/p=0.

Здесь V_μ – молярный объём газа, связанный с объёмом по формуле V=mV_μ/μ. Это алгебраическое уравнение третьей степени относительно объёма. При заданных значениях температуры и давления оно имеет три решения, которые все могут быть вещественными, либо два из них могут быть комплексными, а одно вещественным. Поскольку объём может быть только вещественным, комплексные решения не имеют физического смысла.

При критической температуре все три корня уравнения Ван-дер-Ваальса одинаковы и равны критическому объёму. Поэтому

V_μ³ - (b+RT_к/p_к)V_μ² + aV_μ/p_к - ab/p_к=0.

Это уравнение должно быть тождественно уравнению:

(V_μ-V_к)³ = V_μ³ - 3V_μ²V_к + 3V_μ V_к² - V_к³=0.

Здесь V_к – объём одного моля газа при критических давлении температуре. Сравнивая коэффициенты при членах обоих уравнений, содержащих одинаковые степени V_μ , можем записать три следующих соотношения:

3V_к =b+RT/p_к ; 3V_к²=a/p_к ; V_к =ab/p_к .

Используя эти соотношения, можно найти зависимость между критическими параметрами вещества и соответствующими значениями постоянных в уравнении Ван-дер-Ваальса: Т_к = 8a/(27Rb); V_к =3b; p_к =a/(27b²) , или

a=3V_к²p_к ; b=V_к /3; R=8V_к p_к /(3T_к).

Из последнего соотношения выразим критический объём: V_к =3T_к R/(8p_к). Подставляя это выражение в первые два соотношения, найдём:

a=27T_к²R²/(64р_к); b=RT_к /(8p_к).

После вычислений получим: а= 0,36 Дж· м³ /моль; b=0,043 м³/моль.

Раздел 8. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада.

Пример 8.1. Радиоактивный натрий с массовым числом 24 распадается, выбрасывая β-частицы. Период полураспада натрия 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 ч.

Решение. Число распавшихся атомов за время t - это разность между начальным числом атомов N₀ и числом нераспавшихся N : ΔN=N₀ –N.

Из закона радиоактивного распада известно, что N=N₀ ℮^-λt , поэтому

ΔN=N₀ – N₀ ℮^-λt = N₀ ( 1 - ℮^-λt ).

Учитывая, что λ=ℓn2/Т, преобразуем это выражение: ΔN=N₀ ( 1 - 2^-t/Т ).

Подставим сюда число атомов, определяемое по формуле N₀ = mN_А/μ, где N_А – число Авогадро, μ –молярная масса данного изотопа натрия. Окончательно получим:

ΔN=( mN_А/μ) ( 1 - 2^-t/Т ).

Произведя расчёт по этой формуле, получим: ΔN≈9,3 ·10¹⁸ атомов.

Пример 8.2. Масса препарата радиоактивного магния ²⁷Mg равна 0,2 мкг. Определить начальную активность препарата и его активность через 1 час. Считать, что все атомы препарата радиоактивны.

Решение. Начальная активность препарата А₀ =λN₀ . Постоянная радиоактивного распада λ=ℓn2/T, где Т – период полураспада ²⁷Mg, взятый из справочных таблиц (Т≈600 секунд) . Количество атомов препарата в начальный момент N₀ = mN_А/μ, где N_А – число Авогадро, μ –молярная масса данного изотопа магния. С учётом двух последних формул получим:

А₀ = (ℓn2/T) mN_А/μ .

Сделав подстановку числовых значений, получим: А₀ = 5,42 ·10¹² распад/с или

А₀ = 5,42 ·10¹² /3,7· 10¹⁰ = 146 кюри.

Активность препарата уменьшается со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся атомов: А = А₀ · 2^-t/Т . Подставляя числовые данные, получим, что через 1 час активность А = 2,29 кюри.

Пример 8.3. За время Δt=1 сутки активность изотопа уменьшилась от А₁ = 118 ТБк до А₂ =7,4 ТБк. Пользуясь таблицей периодов полураспада, определить, что это за изотоп. Найти также массу изотопа, имеющего активность А₁ .

Решение. В соответствии с законом радиоактивного распада отношение активностей изотопа в моменты времени t₁ и t₂ можно записать в следующем виде:

А₁ /А₂ = λN₀ exp(-λt₁ )/(λN₀ exp(-λt₂ )) = exp(λ(t₂ –t₁ )) = exp(λΔt).

Прологарифмировав это соотношение, найдём постоянную распада λ:

λ=ℓn(A₁ /A₂ )/Δt .

Воспользовавшись известным соотношением между λ и Т , найдём период полураспада:

Т = ℓn2/λ .

Расчёты по этим формулам дают: λ= 3,2·10^-5 с^-1 ; Т= 2,16 · 10⁴ с= 6 ч.

По таблице периодов полураспада радиоактивных изотопов находим, что получившийся период Т=6 ч соответствует изотопу ртути ¹⁹³Hg. Найдём массу этого изотопа ртути, имеющего активность А₁ = 1,18 · 10¹⁴ Бк, воспользовавшись известными соотношениями:

N₁ =m₁ N_А /μ; A₁=λN₁ .

Следовательно:

m₁ = N₁ μ /N_А = A₁ μ/(λ N_А).

Определив численное значение массы по этой формуле, получим m₁ =1,18·10^-6 кг.