II. Основные теоретические положения и их применение к решению типовых задач.

2.1. Контрольные вопросы

1) Дайте определение вероятностного пространства.

2) Что называется одномерной случайной величиной (CB)?Приведите примеры.

3) Что называется функцией распределения (ф.р)? Докажите свойства ф.р. случайной величины.

4) Какая СВ называется дискретной? Как связана ее ф.р. и ряд распределения? Дайте описание дискретных распределений: биномиального, пуассоновского, гипергеометрического.

5) Какая СВ называется непрерывной? Какие свойства имеет ее плотность распределения? Дайте описание нормального, показательного, равномерного распределения.

6) Как находится вероятность попадания СВ в заданный интервал? Как решить эту задачу в случае, если СВ X имеет нормальное распределение?

7) Что характеризует математическое ожидание СВ, как его вычислить? Докажите свойства математического ожидания.

8) Что характеризуют дисперсия и среднеквадратическое отклдонение СВ? Докажите свойства дисперсии.

9) Дайте определение момента и центрального момента порядка V/

10) Как задается совместное распределение нескольких СВ? Какие свойства имеют ф.р. и плотность распределения двумерной СВ?

11) Числовые характеристики многомерных СВ: математическое ожидание, дисперсионная матрица. Коэффициент корреляции и его свойства.

12) Условные плотности распределения и условные математические ожидания. Теоретическое уравнение регрессии.

13) Определение и свойства независимости СВ.

2.2. Одномерная случайная величина, ее функция распределения.

В различных вероятностных экспериментах мы часто наблюдаем величины, так или иначе характеризующие исследуемое явление и принимающие значения, случайным образом меняющиеся от испытания к испытанию под воздейсвием случайных обстоятельств – «случайные величины» (СВ).

Строгое определение СВ дается на основе понятия вероятностного пространства (Ω, F, P), где пространство элементарных событий Ω - произвольное множество, элементы которого называются элементарными случайными событиями, F- алгебра подмножеств множества

Ω, называемых случайными событиями, F включает в себя множество Ω, все счетные объединения и пересечения и все возможные дополнения до Ω подмножеств из Ω.

P=P(A) – вероятностная функция на множествах А F, т.е. числовая функция, удовлетворяющая аксиомам:

1. P(A)≥0, 2) P(Ω)=1, 3) P( )= при A_iA_j =Ø, i .

Если каждому элементарному событию – «точке» из Ω поставлена в соответствие точка на прямой (на плоскости или в n-мерном пространстве): , то говорят об одномерных (двумерных или n-мерных)СВ.

Одномерной СВ называется функция X( , определенная на пространстве Ω и для любого действительного x удовлетворяющая условию .

СВ обозначают обычно прописными буквами X,Y///, а принимаемые ими значения – соответствующими строчными буквами.

Часто при изучении СВ удобно вместо вероятностного пространства (Ω,F,P) использовать вероятностное пространство (Ω_x,F_x, P_x), порожденное этой СВ. При этом вероятности Р_x приписываются непосредственно значениям случайных величин, а не их прообразам в Ω.

События «СВ X принял значение x» можно рассматривать как элементарные и в качестве пространства Ω_x берется множество всех значений СВ X . Тогда алгебра случайных событий F_x- это система подмножества Ω_x, порожденная множествами (- Ω_x R.

Осталось задать распределение вероятностей P_x на множествах из F_x , равную в каждой точке вероятности того,что СВ X примет значение, меньшее x:

F(x)=P(X<x)=P

Это наиболее общий способ задать распределение вероятностей P_x.

Пример 2.1. Зная ф.р. F(x) , вычислить вероятности событий : (X≤x), (X=x), из F.

Решение

P(X≤x)=

P(X=x)=P(X≤x)-P(X<x)=F(x+0)-F(x)

Иногда распределение вероятностей на F_x удобно задавать не с помощью ф.р. F(x), а как-то иначе. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями СВ X (точнее множествами A F_x и соответствующими им вероятностями P(A)), называется законом распределения или просто распределением СВ X.