2.4. Агрегативное описание систем Понятие «агрегат» в теории систем

Пусть T – фиксированное подмножество действительных чисел (множество рассматриваемых моментов времени), Z, U, Y, X – множества любой природы. Элементы указанных множеств назовем, как и ранее: tT – моментом времени; uU; входным сигналом; zZ - управляющим сигналом; yY – выходным сигналом; xX состоянием. Разница между входным сигналом и управляющим состоит в следующем – управляющий сигнал влияет на выходной непосредственно, а входной сигнал – опосредованно через состояние. Состояния, входные, управляющие и выходные сигналы, рассматриваемые как функции времени, обозначим x(t), u(t), z(t) и y(t).

Под агрегатом будем понимать объект <T,U,Z,Y,X,H,G>, где H,G – операторы (вообще говоря, случайные). Операторы переходов и выходов H и G реализуют функции x(t) и y(t) и представляют собой обобщение переходного отображения  и функции наблюдения . Структура этих операторов собственно и выделяет агрегаты среди прочих систем.

Предположение 1. Будем предполагать, что за конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов и вырабатывается конечное число выходных сигналов.

Операторы переходов и выходов агрегата

Операторы переходов. Наряду с состоянием x(t) будем рассматривать также точки x(t+0). Договоримся считать, что для любого t₁>t момент (t+0)(t,t₁]. Аналогично: x(t-0) означает, что t₀<t: (t-0)[t₀,t). Вид оператора H зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты т.н. особых состояний агрегата или не содержит.

Под особыми состояниями будем понимать его состояния в момент получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния агрегата будем называть неособыми.

Предположение 2. Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Пусть x(t*) – некоторое особое состояние агрегата, а z_s – последний управляющий сигнал z_sZ. Примем следующие обозначения для операторов, являющихся частными видами оператора H и определяющих состояние агрегата в момент t*+0. Если t* - момент поступления входного сигнала u, то

x(t*+0)=V[x(t*), u, z_s] . (2.3)

Аналогично, если t* - момент поступления управляющего сигнала z, то

x(t*+0)=V[x(t*), z] . (2.4)

При одновременном поступлении u и z

x(t*+0)=V [x(t*), u, z] (2.5)

Наконец, если t* - момент выдачи выходного сигнала y, то

x(t*+0)=W[x(t*), z_s] . (2.6)

В интервале между особыми состояниями, значение x(t) определяется при по­мощи операторов Q, вид которых в общем случае зависит от особого сос­тояния, являющегося для данного интервала времени начальным состоянием:

x(t*+0)= [t,x(t*), z_s]. (2.7)

Здесь t* - момент особого состояния, являющегося исходным для данного интервала времени. То есть H является общим обозначением операторов Q,V,V,V и W.

Оператор выходов. Во множестве X состояний x(t) агрегата выделим класс подмножеств {X_y} (подмножества состояний, влекущих за собой необходимость выдачи выходного сигнала), обладающих следующими свойствами. Выходной сигнал y выдается в момент t в двух случаях, когда:

1. x(t)X_y; x(t-0)X_y

2. x(t+0)X_y, но x(t’)X_y.

Тогда, оператор G можно представить в виде совокупности двух операторов: функционального оператора G, вырабатывающего выходной сигнал

y(t)=G[x(t),z_s] (2.8)

и логического оператора G, проверяющего для каждого t принадлежность x(t) к од­ному из подмножеств X_y. Заметим, что в общем случае, оператор G является слу­чайным оператором. Это значит, что данным t, x(t), z ставится в соответствие не одно определенное значение выходного сигнала, а некоторое множество значе­ний y с распределением вероятностей, задаваемых оператором G.

Например, в качестве одной составляющих вектора x(t) (например x₁(t)) может быть время, оставшееся до выдачи выходного сигнала. Тогда оператор G проверяет неравенство x₁(t)>0.

Процесс функционирования агрегата. Агрегат функционирует следую­щим образом. В начальный момент времени t₀ заданы начальное состояние агрегата x₀ и начальное значение управляющего сигнала z₀.

П

y’ u₁ z₁ u₂

t’ t₁ ₁ t₂

Рис.2.4. Пример наступления событий в агрегате

усть t₁ и t₂ – моменты поступления первого u₁ и второго u₂ входных сигна­лов, ₁ – момент поступления первого управляющего сигнала z₁ и, для опре­де­лен­ности t₁<₁<t₂, t' – момент выдачи первого выходного сигнала, причем пусть t<t₁ (см. рис. 2.4).

Рассмотрим полуинтервал (t₀,t₁]. Состояния агрегата изменяются с течением времени по закону (2.7):

x(t)= [t,x₀,z₀] (t₀<t t)

до тех пор (оператор G), пока в момент t состояние x(t) не окажется принадлежащим подмножеству X_y, хотя состояние x(t-0) не принадлежало подмножеству X_y. В этом случае в момент t выдается выходной сигнал y₁, вырабатываемый оператором G. Вместе с тем закон изменения состояний (2.7) нарушается и переключается на закон (2.6):

x(t+0)=W[x(t),z₀].

Пусть теперь в момент t₁ поступает входной сигнал u_1. Проследим поведение агрегата в момент t₁ (см. закон (2.3)). Тогда в силу действия входного сигнала u₁ состояние агрегата имеет вид

x(t₁+0)=V[x(t₁),u₁,z₀], (2.9)

а в дальнейшем, если состояние (2.9) не соответствует выдаче выходного сигнала, то:

x(t)= [t,V[x(t₁),u₁,z₀],z₀] t₁<t₁

Пусть в момент ₁ в агрегат поступает управляющий сигнал z₁. Тогда состояние агрегата имеет вид (см. закон (2.4)).

x(₁+0)=V[x(₁),z₁],

Необходимо отметить, что управляющий сигнал z в общем случае является параметром, определяющим операторы V, V, W, Q, G, G. Поэтому в дальнейшем вместо начального значения управляющего сигнала z₀ в этих операторах должно использоваться значение z₁ до тех пор, пока не поступит следующий управляющий сигнал z_2. Например, в полуинтервале (₁, t₂], если нет оснований для выдачи выходного сигнала

x(t)= [t, x(₁+0), z₁] ₁<tt₂

В частном случае, операторы H и G могут оставаться неизменными при поступлении очередного управляющего сигнала. Аналогично, оператор Q может быть одним и тем же при любых выходных сигналах (при попадании x(t) в любые подмножества X_y).

Агрегат представляет собой математическую схему весьма общего вида, частными случаями которой являются функции алгебры логики, релейно-контактные схемы, конечные автоматы, всевозможные классы систем массового обслуживания, динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и некоторые другие объекты. С точки зрения моделирования агрегат выступает как достаточно универсальный переработчик информации – он воспринимает входные и управляющие сигналы и выдает выходные сигналы.