- •Механика сплошной среды (60 часов)
- •1. Роль науки в механике сплошной среды [1]
- •1.1. Введение в механику сплошной среды
- •1.3. Области и разделы мсс
- •1.4. Основные задачи механики сплошных сред в бурении
- •1.5. Инструментарий мсс
- •2. Среды, применяемые и встречающиеся при бурении нефтяных и газовых скважин [2]
- •2.1. Основы течения сред
- •Вязкость
- •2.2. Типы жидкостей Ньютоновская жидкость
- •2.3. Буровые растворы и их технологические функции
- •2.4. Типы буровых растворов
- •2.5. Основные параметры бурового раствора
- •2.7. Примеси, загрязняющие буровой раствор
- •2.8. Оборудование для регулирования параметров раствора
- •3. Уравнения гидромеханики (мсс) [1]
- •3.1. Кинематика сплошной среды
- •3.2. Система дифференциальных уравнений потока жидкости
- •3.4. Общая система уравнений гидромеханики [3] Из вышеизложенного следует, что движение сплошной среды, определяемые фундаментальными физическими законами описывается системой уравнений:
- •4. Задачи Гидромеханики в бурении
- •4.1. Течение в щелевом канале
- •4.2. Течение в кольцевом канале и круглой трубе
- •4.3. Изменение забойного давления при спускоподъемных операциях в скважинах (спуск и подъем колоны труб с постоянной скоростью)
- •4.4. Влияние проницаемости стенки скважины на гидравлические потери
- •4.5. Влияние конфигурации сечения затрубного пространства скважины на гидравлические потери и другие показатели течения жидкости
- •4.6. Гидравлический удар в скважине
- •4.7. Отчистка ствола скважины от шлама
- •4.8. Определение скорости осаждения частиц
- •5. Уравнения механики деформированного тела (мдт)
- •5.1.Элементы теории деформаций
- •5.2. Динамические величины и элементы теории напряжений
- •5.3. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности
- •5.4. Временные уравнения состояния и критерии длительной прочности
- •5.5. Критерии разрушения на основе теории трещин
- •5.6. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела
- •6.2. Устойчивость горных пород в скважинах
- •Литература
- •Дополнительная литература
- •Темы рефератов (дополнительные темы для изучения)
3.2. Система дифференциальных уравнений потока жидкости
Закон сохранения энергии для движущейся среды. Уравнение энергии
Первое начало термодинамики для элементарного объема движущейся среды можно записать в виде:
, (3.5)
где - количество теплоты единицы объема в единицу времени, ; - работа, совершаемая внешними силами над единицей объема среды в единицу времени, ; - время, с; - плотность среды, ; - удельная внутренняя энергия, ; - скорость движения среды, .
Уравнение теплового баланса выделенного элемента конечного объема , ограниченно поверхностью запишется в виде:
, (3.6)
здесь - количество теплоты единицы объема, ; - поток теплоты, проходящий через поверхность, ; - интенсивность внутренних источников теплоты (таких, как объемные химические реакции, радиоактивный распад, работа трения и т.д.), .
Используя положение Гаусса-Остроградского, определяющее переход от поверхностного интеграла к объемному интегралу можно записать:
, (3.7)
- дивергенция (расхождение) теплового потока в окрестности выделенного элементарного объема. Подставляя значение из (3.7) в (3.6) имеем:
. (3.8)
Принимая для вектора теплового потока гипотезу Фурье, имеем:
, (3.9)
где - декартовые координаты.
Если коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость можно принять постоянными, то уравнение (3.9) примет вид:
, (3.10)
где - субстанциональная производная;
; - направление распределения тепловых потоков по координатам. При отсутствии внутренних источников теплоты:
, (3.11)
где - температуропроводность.
Для неподвижных сред получаем дифференциальное уравнение теплопроводности (Фурье-Кирхгофа):
(3.11)
Общий вид дифференциального уравнения энергии можно получит путем сопоставления уравнений (3.6) и (3.9):
Производя замену в уравнении (3.6) и проинтегрировав по времени, получим:
(3.12)
При умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил и кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтальпией, уравнение существенно упрощается:
, (3.13)
где - субстанциональная производная.
Для определения распределения температуры в потоке жидкости необходимо решить гидродинамическую задачу, то есть определить распределение скоростей в потоке жидкости.
Закон сохранения вещества для потока жидкости. Уравнение неразрывности
Одним из фундаментальных законов механики сплошных сред – закон сохранения массы любого индивидуального объема:
; (3.14)
или выражая его в дифференциальной форме, можно записать как:
; (3.15)
в прямоугольных координатах:
(3.16)
Для стационарных несжимаемых потоков , следовательно:
(3.17)
Уравнение справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощения массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающей среды.
Если в смеси происходят хим. реакции, то массы компонентов могут меняться. В этом случае уравнение неразрывности для компонента многокомпонентной смеси можно записать в виде:
или (3.18)
Здесь - изменение массы компонента смеси в единицу времени на единицу объема счет химической реакции.
В уравнение неразрывности входят три компонента скорости и одного этого уравнения не достаточно для определения скоростей в потоке жидкости.
Закон сохранения количества движения вязкой жидкости
Уравнение сохранения количества движения
Дифференциальное уравнение движение вязкой жидкости выводится на основании закона сохранения количества движения в применении к жидкости, протекающей через произвольный объем .
Скорость изменения главного вектора количества движения жидкости, находящейся в объеме , равна главному вектору массовых сил (веса) и поверхностных сил, действующих на поверхность (силы давлении и трения).
Главный вектор количества движения, находящейся в объеме определится как:
. (3.19)
Согласно закону сохранения движения:
. (3.20)
Учитывая, что , а - из уравнения неразрывности. Преобразовав интеграл по поверхности в интеграл по объему, согласно теореме Гаусса-Остроградского, имеем:
. (3.21)
Используя допущения о произвольности объема и оплошности среды, имеем:
. (3.22)
Учитывая, что получаем уравнение движения жидкости в напряжениях:
(3.23)
Это уравнение в векторной форме в проекциях декартовых координат имеет вид:
;
; (3.24)
;
Уравнения содержат 12 неизвестных: три компонента вектора скорости и девять компонентов вектора напряжения .
При движении вязкой жидкости в потоке действуют нормальное напряжение и напряжение сдвига. Нормальное напряжение обусловлено силами давления, а напряжения сдвига вызвано трением между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями.
В соответствии с гипотезой Ньютона касательное напряжение (напряжение сдвига) в плоском потоке вязкой жидкости связано с производной от скорости по нормали к направлению потока простым соотношением:
(3.25)
- коэффициент динамической вязкости, . .
- кинематическая вязкость, .
Если считать течение изотермическим и несжимаемым ( ; ) то общая запись уравнения примет вид:
(3.26)
В проекции по координатам имеем:
(3.27)
Таким образом, уравнение неразрывности и три уравнения движения в проекции на оси являются замкнутой системой уравнений, содержащей четыре неизвестных .
В том случае, когда плотность жидкости переменна и зависит от температуры, к уравнениям добавляется уравнение энергии и состояния, которые составляют замкнутую систему из шести уравнений с шестью неизвестными.
Уравнение состояния идеальных и реальных жидкостей
Простейшей механической моделью сплошной среды является модель идеальной жидкости, для которой характерно отсутствие сопротивлений (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому. Отдельные части взаимодействуют только в виде нормального давления, т. е. в любой точке идеальной жидкости касательные напряжения равны нулю.
Уравнением состояния для этой жидкости служат зависимости плотности от давления и температуры:
. (3.28)
Для идеальных газов применимо уравнение Менделеева – Клайперона, вида:
. (3.29)
Для капельных жидкостей сжимаемость чрезвычайно мала и в большом диапазоне давлений принимается линейная зависимость:
. (3.30)
Здесь плотность, соответствующая давлению ; - модуль объемного сжатия жидкости. В случае необходимости учета температурных факторов (тепловое расширение) уравнение состояния можно представить в виде:
, (3.31)
здесь - коэффициент объемного расширения жидкости и перепад температур.