2.1.1. Обмеження на перевезення поштових відправлень через транзитні вузли

Запишемо обмеження за навантаженням для усіх вузлів мережі, що не мають прямих транспортних зв'язків.

Рівняння між вузлом 1 та іншими вузлами:

X₁₂₃ = Q₁₃,

X₃₂₁ = Q₃₁,

X₁₂₃₄ + X₁₈₇₄ = Q₁₄,

X₄₃₂₁ + X₄₇₈₁ = Q₄₁,

X₁₂₃₄₅ + X₁₈₇₆₅ +X₁₈₇₅ = Q₁₅,

X₅₄₃₂₁ + X₅₆₇₈₁ + X₅₇₈₁ = Q₅₁,

X₁₈₇₆ = Q₁₆,

X₆₇₈₁ = Q₆₁,

X₁₈₇ = Q₁₇

X₇₈₁ = Q₇₁,

X₁₂₉ +X ₁₈₉ = Q₁₉,

X₉₂₁ +X₉₈₁ = Q₉₁.

У рівняннях змінні X₁₂₃ , X₃₂₁ , X₁₈₇₆ , X₆₇₈₁ , X₁₈₇ , X₇₈₁ явно відомі, тому їх

можна виключити, що спростить систему рівнянь-обмежень. Надалі врахуємо

цю обставину, тобто рівняння з одним невідомим записувати не будемо.

Рівняння між вузлом 2 та іншими вузлами будуть:

X₂₃₄₅₆ + X₂₉₈₇₆ + X₂₃₇₆ = Q₂₆ ,

X₆₅₄₃₂ + X₆₇₉₈₂ + X₆₇₃₂ = Q₆₂ ,

X₂₉₈₇ + X₂₃₇ = Q₂₇,

X₇₈₉₂ + X₇₃₂ = Q₇₂,

X₂₉₈ + X₂₁₈ = Q₂₈,

X₈₉₂ + X₈₁₂ = Q₈₂,

Рівняння для вузла 3 :

X₃₄₅₆ + X₃₇₆ = Q₃₆,

X₆₅₄₃ + X₆₇₃ = Q₆₃,

X₃₉₈ + X₃₇₈ = Q₃₈,

X₈₉₃ + X₈₇₃ = Q₈₃,

X₃₇₅ + X₃₄₅ = Q₃₅,

X₅₇₃ + X₅₄₃ = Q₅₃.

Рівняння для вузла 4 :

X₄₇₈ + X₄₃₉₈ = Q₄₈,

X₈₇₄ + X₈₉₃₄ = Q₈₄,

X₄₇₆ + X₄₅₆ = Q₄₆,

X₆₇₄ + X₆₅₄ = Q₆₄ .

Рівняння для вузла 6 :

X₆₇₈₉ + X₆₅₄₃₉ = Q₆₉,

X₉₈₇₆ + X₉₃₄₅₆ = Q₉₆.

Рівняння для вузла 7 :

X₇₈₉ + X₇₃₉ = Q₇₉,

X₉₈₇ + X₉₃₇ = Q_97.

Таким чином, отримана система з 22 рівнянь-обмежень. Дотримання цих умов забезпечує перевезення ПВ в усіх напрямках у заданій кількості при допущенні, що пропускна спроможність вузлів не нижче навантаження, що надходить. Тому що кожний вузол має обмежену пропускну спроможність за обробленням транзиту, то рішення може бути реальним тільки в тому випадку, якщо кількість транзитних ПВ, що направляються через вузол, не буде перевищувати пропускну спроможність цього вузла. Запишемо обмеження пропускної спроможності вузлів мережі за транзитом:

X₂₁₈ + X ₈₁₂ ≤ ,

X₁₂₃₄ + X₄₃₂₁ + X₁₂₃₄₅ + X₅₄₃₂₁ + X₁₂₉ + X₉₂₁ ≤ ,

X₁₂₃₄ + X₄₃₂₁ + X₁₂₃₄₅ + X₅₄₃₂₁ + X₂₃₄₅₆ + X₆₅₄₃₂ + X₂₃₇₆ + X₆₇₃₂ + X₂₃₇ + X₇₃₂ + X₄₃₉₈ + X₈₉₃₄ + X₆₅₄₃₉ + X₉₃₄₅₆ + X₇₃₉ + X₉₃₇ ≤ ,

X₁₂₃₄₅ + X₅₄₃₂₁ + X₂₃₄₅₆ + X₆₅₄₃₂ + X₃₄₅₆ + X₆₅₄₃ + X₆₅₄₃₉ + X₉₃₄₅₆ + X₃₄₅ + X₅₄₃ ≤ ,

X₂₃₄₅₆ + X₆₅₄₃₂ + X₃₄₅₆ + X₆₅₄₃ + X₆₅₄₃₉ + X₉₃₄₅₆ + X₆₅₄ + X₄₅₆ ≤ ,

X₁₈₇₆₅ + X₅₆₇₈₁ ≤ ,

X₁₈₇₄ + X₄₇₈₁ + X₁₈₇₆₅ + X₅₆₇₈₁ + X₁₈₇₅ + X₅₇₈₁ + X₃₇₅ + X₅₇₃ + X₂₉₈₇₆ + X₆₇₈₉₂ + X₂₃₇₆ + X₆₇₃₂ + X₃₇₆ + X₆₇₃ + X₄₇₆ + X₆₇₄ + X₃₇₈ + X₈₇₃ + X₆₇₈₉ + X₉₈₇₆ ≤ ,

X₁₈₇₄ + X₄₇₈₁ + X₁₈₇₆₅ + X₅₆₇₈₁ + X₁₈₇₅ + X₅₇₈₁ + X₁₈₉ + X₉₈₁ + X₂₉₈₇₆ + X₆₇₈₉₂ + X₂₉₈₇ + X₇₈₉₂ + X₆₇₈₉ + X₉₈₇₆ + X₇₈₉ + X₉₈₇ ≤ ,

X₂₉₈₇₆ + X₆₇₈₉₂ + X₂₉₈₇ + X₇₈₉₂ + X₂₉₈ + X₈₉₂ + X₃₉₈ + X₈₉₃ + X₄₃₉₈ + X₈₉₃₄ ≤ .

Всі записані рівняння у вигляді рівностей і нерівностей утворюють одну єдину систему обмежень. Всякий план напрямку ПВ, що задовольняє цій системі обмежень, буде реальним, якщо вважати пропускну спроможність транспорту достатньо великою.

2.1.2. Формування цільової функції

У нашому випадку критерієм оцінки оптирисьного плану напрямку ПВ є цільова функція у вигляді розміру витрат на оброблення транзитних ПВ. Цільова функція може бути подана сумою добутків витрат на оброблення одного ПВ у вузлі на відповідну величину потоку ПВ.

Отже, задача полягає в тому, щоб із множини допустимих рішень знайти саме таке, щоб забезпечувалося виконання завдання з мінімально можливими витратами. Запишемо вираз для цих витрат:

Z = C₁(X₂₁₈ + X₈₁₂) + C₂(X₁₂₃₄ + X₄₃₂₁+ X₁₂₃₄₅ + X₅₄₃₂₁ + X₁₂₉ + X₉₂₁) + C₃(X₁₂₃₄ + X₄₃₂₁ + X₁₂₃₄₅ + X₅₄₃₂₁ + X₂₃₄₅₆ + X₆₅₄₃₂ + X₂₃₇₆ + X₆₇₃₂ + X₂₃₇ + X₇₃₂ + X₄₃₉₈ + X₈₉₃₄ + X₆₅₄₃₉ + X₉₃₄₅₆ + X₇₃₉ + X₉₃₇) + C₄ (X₁₂₃₄₅ + X₅₄₃₂₁ + X₂₃₄₅₆ + X₆₅₄₃₂ + X₃₄₅₆ + X₆₅₄₃ + X₆₅₄₃₉ + X₉₃₄₅₆) + C₅ (X₂₃₄₅₆ + X₆₅₄₃₂ + X₃₄₅₆ +X₆₅₄₃ + X₆₅₄₃₉ + X₉₃₄₅₆) +C₆ (X₁₈₇₆₅ + X₅₆₇₈₁) + C₇ (X₁₈₇₄ +X₄₇₈₁ + X₁₈₇₆₅ + X₅₆₇₈₁ + X₁₈₇₅ + X₅₇₈₁ + X₂₉₈₇₆ + X₆₇₈₉₂ + X₂₃₇₆ + X₆₇₃₂ + X₃₇₆ + X₆₇₃ + X₃₇₈ + X₈₇₃ + X₆₇₈₉ + X₉₈₇₆) + C₈ (X₁₈₇₄ + X₄₇₈₁ + X₁₈₇₆₅ + X₅₆₇₈₁ + X₁₈₇₅ + X₅₇₈₁ + X₁₈₉ + X₉₈₁ + X₂₉₈₇₆ + X₆₇₈₉₂ + X₂₉₈₇ + X₇₈₉₂ + X₆₇₈₉ + X₉₈₇₆ + X₇₈₉ + X₉₈₇) + C₉ (X₂₉₈₇₆ + X₆₇₈₉₂ + X₇₈₉₂ + X₂₉₈ + X₈₉₂ + X₃₉₈ + X₈₉₃ + X₄₃₉₈ + X₈₉₃₄).

Отриману задачу можна вирішити симплексним методом. Проте може виявитися можливим використання менш трудомістких методів. В одержаній системі рівнянь-обмежень кожне невідоме зустрічається тільки в двох обмеженнях і притому із коефіцієнтом +1. Ця властивість характерна для транспортних задач. На відміну від транспортної задачі в її звичайній постановці, тут перевезення однорідного вантажу з певного вузла допускається тільки у певні пункти споживання.