§ 20. Базис у скінченновимірному векторному просторі

2.43. Означення. Базисом у n-вимірному векторному просторі називають впорядковану систему n лінійно незалежних векторів цього простору.

2.44. Приклад. У тривимірному просторі геометричних векторів найчастіше використовують для розв'язання конкретних задач базис, утворений попарно перпендикулярними векторами одиничної довжини i, j та k. Ці вектори задовольняють означення базису, тому що: а) їх кількість дорівнює вимірності простору; б) вони утворюють упорядковану сукупність: переставлення двох з них або перетворює так звану "праву" трійку векторів на "ліву", і навпаки¹; в) вони лінійно незалежні: будь-яка лінійна комбінація векторів j та k є вектором, який обов'язково належить площині (j, k), а значить, i не є лінійною комбінацією j та k; у такий саме спосіб переконуємося, що жоден із цих векторів не є лінійною комбінацією двох інших і критерій лінійної залежності не виконується.

2.45. Приклад. Як базис в арифметичному просторі, що складається з матриць порядку зручно використовувати вектори²

Згідно з правилами додавання матриць і множення матриці на число, довільний вектор арифметичного простору

(2.1)

можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів

Вектор дорівнює нульовому вектору

, (2.2)

коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю (див. приклад 2.10). Звідси випливає, що вектори лінійно незалежні, а система векторів лінійно залежна. Отже, вимірність простору матриць порядку дорівнює n, причому вектори утворюють базис у цьому просторі.

2.46. Приклад. Сукупність усіх дійсних матриць порядку 2´2 є чотиривимірним простором. Як базис можна обрати матриці

* * *

У подальшому будемо позначати систему базисних векторів у n-вимірному просторі як або подавати у вигляді матриці-рядка (Лінійні операції з матрицями, елементами яких є вектори, виконуються за тими самими правилами, що й операції з числовими матрицями). Надалі, якщо не вказано інше, вважатимемо, що всі індекси, які будуть зустрічатися, набувають значень від 1 до n.

§ 21. Координати вектора

Розглянемо систему векторів що складається з довільного вектора простору і базису в цьому просторі. Ця система містить вектор, і тому є лінійно залежною. Це означає, що існує нетривіальна лінійна комбінація векторів системи, яка дорівнює нульовому вектору: Якби коефіцієнт дорівнював нулю, звідси випливало б, що існує нетривіальна комбінація векторів базису, яка дорівнює нулю, що неможливо з огляду на лінійну незалежність базисних векторів. Таким чином, не дорівнює нулю і довільний вектор x простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису:

(2.3)

де Вираз (2.3) називають розкладом вектора x за векторами базису.

2.47. Означення. Коефіцієнти розкладу вектора за векторами базису називають координатами цього вектора в базисі тобто xⁱ – i-та координата вектора x у базисі

Координати вектора x можна подати у вигляді вектор-стовпчика (2.1), який у такому разі називають координатним стовпчиком цього вектора. Отже, розклад (2.3) можна записати у вигляді

(2.4)

Добуток є вектором, оскільки елементами матриці-рядка є вектори. (На відміну від цього, добуток числової матриці-рядка на координатний стовпчик є числом).