2.3.2. Показники варіації

Середні величини тим більш характерні для даного розподілу, чим тісніше групуються окремі варіанти навколо середньої, тобто чим менше вони розсіяні. Тому середні характеристики повинні бути доповнені вимірюванням варіації ознаки відносно середньої, тобто характеристиками розсіювання.

Сама груба оцінка розсіювання, яка оцінюється за даними варіаційного ряду, може бути одержана за допомогою розмаху варіювання:

, (2.12)

де , – найменша і найбільша варіанти ряду.

Однак цей показник не дає уявлення про характер варіаційного ряду, розташування варіант навколо середньої і може сильно змінюватись від додавання або виключення крайніх варіант навіть із найменшою частотою.

Для оцінки варіювання значень ознаки відносно середньої використовуються різні характеристики розсіювання, які відрізняються одна від одної вибраною формою середньої і способами оцінки відхилень від неї окремих варіант.

 Середнім лінійним відхиленням варіаційного ряду називається середнє арифметичне абсолютних відхилень значень варіант від їх середньої арифметичної:

Для незгрупованого ряду	Для згрупованого ряду	(2.13)

 Дисперсією варіаційного ряду (вибірковою дисперсією) називається середнє арифметичне квадратів відхилень значень варіант від їх середньої арифметичної:

Для незгрупованого ряду	Для згрупованого ряду	(2.14)

Дисперсія дає характеристику варіації у квадратних одиницях. Для характеристики варіації у тих же одиницях, що і значення ознаки, на базі дисперсії визначається середнє квадратичне відхилення.

 Середнім квадратичним відхиленням називається корінь квадратний із дисперсії:

. (2.15)

Характеристикою варіації є також і коефіцієнт варіації, який дорівнює процентному відношенню середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

. (2.16)

Коефіцієнт варіації має ту ж природу, що і , і виявляється більш зручним для порівняльної оцінки варіації у розподілах з різними значеннями середнього арифметичного. Однак він втрачає смисл при і стає малонадійним при близьких до 0 значеннях середньої.

Якщо коефіцієнт варіації ознаки, яка приймає тільки додатні значення, високий (наприклад більше 100%), то як правило, це свідчить про неоднорідність вибірки.

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія постійної величини дорівнює 0.

2. Якщо усі варіанти збільшити (зменшити) у одне і теж число k разів, то дисперсія збільшиться (зменшиться) у разів:

3. Якщо усі варіанти збільшити (зменшити) на одне і теж число, то дисперсія не зміниться:

4. Дисперсія дорівнює різниці між середнім арифметичним квадратів варіант і квадратом середнього арифметичного:

.

Дійсно,

5. Якщо варіаційний ряд складається із декількох груп спостережень, то загальна дисперсія дорівнює сумі середнього арифметичного групових дисперсій та міжгрупової дисперсії (правило складання дисперсій):

,

де – загальна дисперсія, n – об’єм усієї сукупності, – i-та варіанта загального ряду, – загальне середнє;

– середнє арифметичне групових дисперсій, m – кількість груп, – об’єм j-ї групи;

– дисперсія j-ї групи, -i-та варіанта у j-тій групі, – середнє арифметичне j-ї групи;

– міжгрупова дисперсія.