- •Мова логіки висловлень
- •Контрольні питання
- •Задачі та вправи
- •Інтерпретації формули логіки висловлень
- •Контрольні питання
- •Задачі та вправи
- •Еквівалентні формули логіки висловлень. Нормальні форми
- •Контрольні питання
- •Задачі та вправи
- •Логічне слідування
- •Контрольні питання
- •Задачі та вправи
- •Методи перевірки тотожної хибнОсті й тОтожної істинНості формул логіки висловлень
- •Метод перевірки суперечності й тавтологічності формул шляхом зведення до диз’юнктивної та кон’юнктивної нормальної форми
- •Контрольні питання
- •Метод Девіса й Патнема
- •Контрольні питання
- •Метод резолюцій
- •Контрольні питання
- •Метод двійкових діаграм рішень
- •Контрольні питання
- •Задачі та вправи
- •Приклади перевірки логічної правильності міркування
- •Перевірка правильності міркування за допомогою таблиць істинності
- •Перевірка правильності міркування шляхом побудови диз’юнктивної нормальної форми або кон’юнктивної нормальної форми
- •Перевірка правильності міркування методом Девіса й Патнема
- •Перевірка правильності міркування методом резолюцій
- •Перевірка правильності міркування шляхом побудови двійкової діаграми рішень
- •Контрольні питання
- •Приклади перевірки сумісності сукупності тверджень
- •Перевірка сумісності сукупності тверджень за допомогою таблиць істинності
- •Перевірка сумісності сукупності тверджень шляхом побудови диз’юнктивної нормальної форми
- •Перевірка сумісності сукупності тверджень методом Девіса й Патнема
- •Перевірка сумісності сукупності тверджень методом резолюцій
- •Перевірка сумісності сукупності тверджень шляхом побудови двійкової діаграми рішень
- •Контрольні питання
- •Скорочення, символи та позначення
- •Слова іншомовного походження
Перевірка сумісності сукупності тверджень шляхом побудови диз’юнктивної нормальної форми
Розглянемо далі, як перевірити несуперечність F шляхом побудови ДНФ. Побудову ДНФ будемо здійснювати, використовуючи наведені вище співвідношення.
Маємо:
F = (A B) (B C) (A C) (A C).
Вилучимо входження зв’язки (за допомогою тотожності F1F2= (F1F2)(F2F1)):
F = (A B) (B A) (B C) (A C) (A C).
Вилучимо усі входження зв’язки (за допомогою тотожності F1F2=F1F2):
F = ( A B) ((B) A) (B C) ((A) C) (A C).
Виконаємо спрощення (за допомогою тотожності Ø(F1) = F1):
F = ( A B) (B A) (B C) (A C) (A C).
Застосуємо закони комутативності та асоціативності:
F = ( A B) ((B A) (B C)) ((A C) (A C)).
До підформули ((B A) (B C)) застосуємо закон дистрибутивності:
F = ( A B) (B (A C)) ((A C) (A C)).
До підформули ((A C) (A C)) застосуємо закон дистрибутивності:
F = ( A B) (B (A C)) (A (C C)).
Виконаємо спрощення (за допомогою тотожності F1F1=0):
F = ( A B) (B (A C)) (A 0).
Виконаємо спрощення (за допомогою закону комутативності Ú та тотожності 0F1= F1):
F = ( A B) (B (A C)) A.
Застосуємо закони комутативності та асоціативності:
F = (A ( A B)) (B (A C)).
Застосуємо закон дистрибутивності (F1 (F2 F3) = (F1 F2) (F1 F3)) до (A ( A B)) (тут F1= А, F2 = A, F3= B):
F = ((A A) (А B)) (B (A C)).
Розглянемо підформулу ((A A) (А B)). За тотожностями F1F1=0, 0F1= F1 маємо:
(A A) (А B) = 0 (А B) = А B.
Отже, F = (А B) (B (A C)).
Застосуємо закон дистрибутивності (F1 (F2 F3) = (F1 F2) (F1 F3)) до F (тут F1= (А B), F2 = B, F3= (A C)):
F = ((А B) B) ((А B) (A C)).
Застосуємо закони комутативності та асоціативності:
F = (А (B B)) ((А A) (B C)).
Розглянемо підформулу (A (B B)). За тотожностями F1F1=0, 0F1=0 та законом комутативності маємо:
(A (B B)) = А 0 = 0.
Отже, F = (А A) (B C). За законом ідемпотентності F1 F1 = F1 маємо:
F = A B C.
Отже, побудовано ДНФ формули (AB) (BC) (AC) (AC).
Зауважимо, що побудова ДНФ формули F може бути здійснена не єдиним чином. Розглянемо інший спосіб приведення F до диз’юнктивної нормальної форми.
Послідовно вилучаємо у формулі F входження зв’язок та й виконуємо спрощення:
F = ( A B) (B A) (B C) (A C) (A C).
Застосуємо закони комутативності та асоціативності:
F = ( A B) (B A) (B C) ((A C) (A C)).
До підформули ((A C) (A C)) застосуємо закон дистрибутивності та виконаємо спрощення:
F = ( A B) (B A) (B C) A.
Застосуємо закони комутативності та асоціативності:
F = ( A B) (A (A B)) (B C).
До підформули (A (A B)) застосуємо закон поглинання (F1 (F1 F2) = F1):
A (A B) = А.
Отже, F = ( A B) A (B C).
Застосуємо закони комутативності та асоціативності:
F = (A ( A B)) (B C).
Застосовуючи закон дистрибутивності до підформули (A ( A B)) й виконуючи спрощення, маємо:
F = (A B) (B C).
Застосовуємо закон дистрибутивності до F та виконуємо спрощення:
F = A B C.
Остання формула є ДНФ, яка складається з одного кон’юнкту. Бачимо, що F 0, тому існує модель F (принаймні одна). Це означає, що F не є тотожно хибною. Отже, можна зробити висновок, що подана сукупність тверджень сумісна.