Завдання

Розв’язати диференційні рівняння, що задовольняють заданим крайовим умовам, з точністю (табл. 8.4):

Таблиця 8.4

Варіант	Рівняння
1	2
1
2
3
4
5
6

Продовження таблиці 8.4

Варіант	Рівняння
7
8
9
10

Контрольні питання

1. Загальний підхід до ров’язання крайової задачі.

2. Які є методи вирішення крайових задач?

3. Особливості ров’язання крайової задачі методом стрільби.

4. В чому полягає суть кінцево-різницевого методу ров’язання крайової задачі?

5. В чому полягає перевага кінцево-різницевого методу?

6. Поняття власного вектору матриці.

7. Для яких матриць застосовується метод обертань Якобі?

8. Суть методу обертань Якобі.

Практична робота № 9

Тема: Одновимірна оптимізація. Метод сканування. Метод золотого перерізу. Метод параболічної апроксимації

Теоретичні відомості

Розглянемо методи вирішення одновимірних задач оптимізації (пошуку критеріїв оптимальності) виду:

,

де - змінна, а та - мінімальне та максимальне значення змінної .

Метод сканування

Метод сканування полягає у послідовному переборі всіх значень з кроком (похибка рішення) з обчисленням критерію оптимальності у кожній точці. Рішення задачі знаходиться шляхом вибору найбільшого з усіх обчислених значень .

Перевага методу сканування – можливість знаходження глобального максимуму критерію, якщо - багатоекстремальна функція.

Недолік методу сканування – значне число повторних обчислень , що потребує багато часу.

Однією з модифікацій цього методу є послідовне уточнення рішення або сканування зі змінним кроком. На першому етапі здійснюють сканування з великим кроком, далі відрізок з найбільшим значенням розбивається на більш дрібні відрізки, шукається новий відрізок, всередині якого знаходиться уточнене значення максимуму. Він знову ділиться на більш дрібні і т. д., доти, поки величина відрізку з максимальним значенням не буде меншою, ніж задана похибка.

Приклад 9.1

Маємо функцію:

,

де коефіцієнти: ; ; ; .

Знайти максимум на інтервалі . Похибка по : .

Розділимо весь інтервал на чотири відрізки (великий крок). При цьому координати наступні:

Відповідно значення критеріїв:

Отже, в якості нового відрізку обираємо відрізок , тому що в середині його знаходиться максимальне значення: , де - номер ітерації після першого етапу.

Ділимо відрізок на чотири частини:

Обчисливши в цих точках, отримаємо новий інтервал . В таблиці 9.1 наведені координати середини відрізків, при яких критерій оптимальності має найбільше значення.

Таблиця 9.1

№ ітерації
1	0,5000	0,9975
2	0,5000	0,9975
3	0,5938	0,9997
4	0,5703	0,9999
5	0,5938	0,9997