4.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение
(4.5)
называется
уравнением в полных дифференциалах,
если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции
,
то есть
.
Пусть функции
и
непрерывно дифференцируемы по y
и x соответственно в
односвязной области D.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (4.5) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
Решение уравнения (4.5) в полных дифференциалах можно записать в виде
.
Функция может быть найдена из системы
.
(4.6)
Общий интеграл уравнения (4.5) можно представить в виде
,
где
.
Пример 4.7. Решить уравнение
Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию . Система (4.6) имеет вид
.
Из первого уравнения этой системы находим
где
– произвольная дифференцируемая
функция.
Подставляя во второе уравнение системы, имеем
Следовательно,
.
Общий интеграл уравнения имеет вид:
.
4.6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
или, если оно
разрешено относительно
,
то
.
Задача нахождения решения
данного уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям
,
называется задачей Коши.
Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающих по-нижение порядка.
1. Уравнение
вида
.
После n-кратного
интегрирования полу-чается общее
решение.
2. Уравнение не
содержит искомой функции и ее производных
до порядка
включительно:
.
Порядок такого
уравнения можно понизить на k единиц
заменой
.
Уравнение примет вид
.
Из последнего
уравнения, если это возможно, определяем
,
а затем находим y из уравнения
k-кратным интегрированием.
3. Уравнение не содержит независимой переменной:
Подстановка
позволяет понизить порядок уравнения
на 1.
Все производные
выражаются через производные от новой
неизвестной функции
по y:
и
т. д.
Подставив эти
выражения в уравнение вместо
,
получим дифференциальное уравнение
-го
порядка.
Замечание. При решении задачи Коши во многих случаях нецелесообразно находить общее решение уравнения; начальные условия лучше использовать непосредственно в процессе решения.
Пример 4.8. Решить задачу Коши
.
Решение.
Данное уравнение не содержит независимую
переменную, поэтому полагаем
.
Тогда
и уравнение принимает вид
.
Пусть
,
тогда мы получаем уравнение Бернулли
относительно
.
Решая его, находим
.
Из условия
при
имеем
,
следовательно,
или
.
Интегрируя это дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными,
имеем
.
Полагая
и
,
получим
,
откуда
или
.
Осталось заметить,
что случай
не дает решений поставленной задачи
Коши.
5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
5.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
,
(5.1)
где
.
Для нахождения общего решения уравнения (5.1) составляется характеристическое уравнение
(5.2)
и находятся его
корни
.
Возможны следующие случаи
1. Все корни характеристического уравнения (5.2) действительны и различны. Общее решение уравнения (5.1) выражается формулой
.
(5.3)
2. Характеристическое
уравнение имеет пару однократных
комплексно-сопряженных корней
.
В формуле (5.3) соответствующая пара
членов
заменяется слагаемым
.
3. Действительный
корень
уравнения (5.2) имеет кратность
.
Тогда соответствующие r членов
в формуле (5.3) заменяются слагаемым
.
4. Пара
комплексно-сопряженных корней
уравнения (5.2) имеет кратность r. В
этом случае соответствующие r пар
членов
в формуле (5.3) заменяются слагаемым
.
Пример 5.1.
Решить уравнение
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Общее решение дифференциального
уравнения
.
Пример 5.2.
Решить уравнение
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Общее решение имеет вид
.
Пример 5.3.
Решить уравнение
.
Характеристическое уравнение
имеет двукратный корень
,
поэтому общее решение имеет вид
.
Пример 5.4.
Решить уравнение
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
,
.
Общее решение уравнения таково
.