2.6. Сложение скоростей в теории относительности

Пусть скорость движущейся частицы в системе S' равна , причем сама система S' равномерно движется относительно неподвижной системы S cо скоростью в направлении оси x. Требуется определить скорость той же частицы в системе. Координаты частицы в системах S и S' связаны преобразованиями Лоренца. Поскольку , координаты и время при движении частицы получают приращения, которые будут связаны соотношением

, , , . (2.17)

Разделив первые три приращения на последнее, получим

, , . (2.18)

Эти формулы и выражают правило сложения скоростей в релятивистской кинематике. При медленных движениях, когда можно пренебречь величинами u'_x/c, ², они переходят в нерелятивистские формулы

, , ,

получающиеся из преобразований Галилея.

При больших скоростях, например, когда u'_x=c, u'_y=u'_z=0 в системе отсчета S, согласно формулам преобразования скоростей (2.18). Этот пример наглядно показывает предельный характер скорости света.

3. Релятивистская динамика

3.1. Релятивистское уравнение движения

Если какой-нибудь закон природы представлен в виде А = В, причем при переходе от одной системы отсчета к другой величины А и В остаются неизменными, то эти величины и сам закон называются инвариантными относительно этого перехода. Более общим является понятие ковариантности. Если при переходе от одной системы отсчета к другой величины А и В хотя и не остаются неизменными, но преобразуются одинаково, то закон А = В сохраняется и в новой системе отсчета. В этом случае говорят, что закон А = В ковариантен относительно рассматриваемого преобразования систем отсчета. Часто термин “инвариантность закона” употребляют в смысле его ковариантности. До теории относительности допустимыми считались только преобразования Галилея. Относительно этих преобразований уравнения Ньютона ковариантны, а уравнения электродинамики – нет.

Теория относительности показала, что преобразования Галилея надо заменить преобразованиями Лоренца, тогда принцип относительности требует, чтобы законы природы были ковариантны относительно преобразований Лоренца, но уравнения механики Ньютона этому требованию не удовлетворяют. Поэтому механика Ньютона должна быть изменена.

Рис. 3.1

Эксперименты, проведенные с заряженными частицами, движущимися в ускорителях со скоростями, близкими к скорости света, показали, что отношение силы, действующей на частицу, к ускорению, которое она сообщает частице, не является постоянной величиной и зависит от скорости. Рассмотрим один из таких экспериментов.

Пусть протон движется по круговой орбите в переменном магнитном поле . На пути протона имеется промежуток, где на протон действует электрическое поле напряженностью . Это поле изменяется так, что, когда протон проходит этот промежуток, он ускоряется под действием силы . Вне промежутка на протон действует сила , под действием которой протон движется по окружности радиуса R. Скорость u можно определить, измерив время облета окружности, задана, поэтому легко найти нормальное ускорение частицы и вычислить . Эксперимент дает зависимость .

Ускорение протона a_t при прохождении поля также можно измерить и, следовательно, найти . Оно оказывается зависящим от скорости следующим образом:

.

Постоянную в этих соотношениях легко определить, так как при u®c эти отношения равны m₀, массе частицы, не имеющей скорости. Эта величина является мерой инертности покоящейся частицы и называется массой покоя. Поэтому окончательно имеем

и .

Эти формулы показывают, что инертность частицы в направлении скорости отличается от ее инертности в направлении, перпендикулярном скорости.

Пусть частица движется под действием силы . Эту силу можно представить как сумму двух составляющих = . Используя полученные соотношения, можно записать

,

где – вектор нормали к траектории, вектор совпадает по направлению с вектором скорости.

Принимая во внимание, что , выражение для силы можно записать в виде

.

Прямым дифференцированием можно проверить, что

.

Тогда

.

Таким образом, уравнение

(3.1)

представляет релятивистское уравнение движения, оно инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца. Логично его записать в виде

,

где есть релятивистский импульс: . Величина называется релятивистской массой. Релятивистская масса, так же как и нерелятивистская, характеризует инертность.