24. Затухающие колебания материальной точки

Рассмотрим колебательное движение материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы F и силы сопротивления движению R пропорциональной скорости в точке.

, где

Тогда ДУ прямолинейного движения:

Обозначим через и получим:

Для интегрирования (3.8) составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

где — частота собственных колебаний материальной точки, а характеризует сопротивление

среды.

Рассмотрим случай, когда :

Тогда общее решение уравнения (3,8) имеет вид

Положим, что

Тогда из (3.9)

Движение, определяемое уравнением (3.10) имеет колебательный характер, так как х периодически меняет свой знак.

Множитель указывает на то, что амплитуда с течением времени уменьшается, колебание

такого типа называется затухающим колебанием.

Величины А и определяется следующими выражениями:

при этом

Частота затухающих колебаний

период:

где Т— период свободного колебания материальной точки.

Из (3.11) следует, что период затухания колебания больше периода свободного колебания точки. Так как , то есть график затухания колебаний заключен

между двумя симметричными относительно оси абсцис кривыми:

25. Вынужденные колебания. Резонанс. Вынужденные колебания при вязком сопротивлении. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики.

Колебательное движение материальной точки происходит при условии, если на точку которая отстоит от положения равновесия, действует некоторая сила F стремящаяся в эту точку, в это положение. Такая сила наз-ся восстанавливающей.

Мы будем рассм-ть случай, когда восстанавливающая сила пропорциональна отклонению от положения покоя.

Различают 2 вида вынужденных колебаний.

1)Вынужденные колебания совершаются под действием восстанавливающей

силы и силы периодического характера называемой возмущающей силой.

2)Вынужденные колебания совершающиеся под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления дижения

Вынужденные колебания материальной точки при наличии сопротивления дижении.

Рассм-м колебание материальной точки на которую действуют силы восстанавливающая ( ), возмущающая сила ( ) изменяющаяся по гармоническому закону и сила сопротивления ( ) пропорциональная скорости точки.

, , =

Проекция на ось х.

тогда

частота возмущающей силы

начальная фаза возмущающей силы, тогда

(1)- это диф.ур. вынужденных колебании при наличии сопротивления движению пропорционального скорости.

Общее решение ( ) этого ур-я состоит слагаемых, первое из которых яв-ся общим решением однородного уравнения, а яв-ся частным решением ( ) неоднородного диф.ур. (1).

ещем в виде:

допишите пожалуйста

В зависимости от k и n реш-е ур-я (1) будет иметь вид:

1) при k>n

2) при n>k

3) при n=k

В этом случае

Величины яв-ся постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям движения.

Из выражения (2)и(4) видно, что свободное колебание(первое слагаемое в решениях с течением некоторого времени, времени установления затухают и вид колебании опр-ся видом вынужденных колебании.

м

свободное колебание(затухающиеся)

вынужденное колебание

Явление резонанса

Явление резонанса возникает при совпадении частот вынужденных, свободных колебаний точки, т.е. когда p=k.

1) Рассм. Случай когда нет сопротивлении среды, тогда

Частота и период вынужденных колебании равна частоте k и периоду свободных колебании точки.

Исследование вынужденных колебании при наличии сопротивления движению

Фаза вынужденных колебании при наличии сопротивления отстает от фазы взаимодействия силы на величину .

Эту величину наз-т сдвигом фазы и поределяют

Величина зависит от отношения характеризующую возмущающую силу

и отношение характеризующего сопротивление среды. Построим график .

При отсутствии сопротивления: при ; при

Под влиянием сопротивления этот разрыв сглаживается.

Если , то (коэф затухания) . Зная можно определить сдвиг фаз непосредственно по этому графику. Амплитуда вынужденных колебаний.

Введем коэф динамичности где - это амплитуда вынужденных колебаний при наличий сопротивления, - это амплитуда статического отношения точки от начала корд, равный , под действием постоянной силы. Напишем зависимоть

Отсюда видно, что при отсутствии сопротивления амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности.

При наличии сопротивления амплитуда вынужд колебании имеет конечную величину То влияние сопротивления на вынужденные колебания внутр точки выражается в сдвиге фазы возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебания по мере увеличения сопротивления.

26 Механическая сиситема. Силы внутренние и внешние. Масса системы. Центр масс.

Масса системы.Центр масс