4. Свойства смешанного произведения.

1. .

Доказательство этих соотношений проводится аналогично выводу формулы (4). Чтобы их запомнить заметим, что при «циклической перестановке» векторов (вектор передвигается на следующее место, а последний – на первое) знак не меняется, а при перестановке двух соседних векторов знак смешанного произведения меняется.

2. Геометрический смысл смешанного произведения.Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.

11. Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости.

Так как координаты вектора и известны координаты вектора , то можно записать векторное уравнение прямой (1) в координатах: Полученную систему называют параметрическим уравнением прямой.

Выражая параметр из каждого уравнения параметрической системы (2), получим



Опуская , получим каноническое уравнение прямой:

, (3)

где - координаты точки, через которую проходит прямая, а - координаты направляющего вектора.

12. Приведенное и общее уравнения прямой. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Критерий перпендикулярности.

общее уравнение прямой

.

приведенное уравнение прямой , где , .

Таким образом, угол между прямыми находится по формуле:

. (9)

В частности, если угол составляет , то . Это возможно, если . Получаем критерий перпендикулярности прямых

или (10)

Критерием параллельности двух невертикальных прямых на плоскости и является равенство:

, (11)

т.к. .

13. Уравнения прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей, т.е. системой:

14. Уравнения плоскости в пространстве.

, где .

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.

15. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

. Двугранный угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Пусть даны две плоскости

, ,

то угол между ними вычисляется как угол между их нормальными векторами и :

Угол между ними вычисляется как угол между направляющими векторами и :

. (11)

Условием параллельности двух прямых является условие коллинеарности их направляющих векторов:

Угол между прямой и плоскостью.

16. Уравнения линий на плоскости. Кривые второго порядка: окружность и эллипс.

Определение 1. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:

.

Уравнение произвольной окружности с центром в точке и радиусом имеет вид:

, (2)

т.к. окружность радиусом есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии от центра, т.е.

.

Окружность есть кривая второго порядка.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Уравнение эллипса имеет вид

17. Гипербола и ее каноническое уравнение.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Уравнение гиперболы имеет вид

. (5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением гиперболы, и - полуосями, - действительная полуось, - мнимая.