- •4 Числовые ряды. Основные определения.
- •Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;
- •Если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.
- •6 Некоторые очевидные свойства числовых рядов:
- •1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.
- •12. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •13 Теорема Лейбница:
- •14. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •15. Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрассе.
- •16. Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •17. Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •18. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.
- •19. Радиус сходимости.
- •20.Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:
- •21. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
- •28.Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
- •29.Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вер-ти. Теорема умножения вер-тей с док-вом. Пример.
- •30.Формулы полной вер-ти и Байеса с док-вом. Примеры.
- •31 Повторение опытов
- •Функция и распределения случайной величины, её определение, свойства и график.
- •34 Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельного взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв. Функция распределения нсв.
- •38 То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.
- •40 Проверка статических гиротез
16. Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
Непрерывность суммы.
В области равномерной сходимости сумма ряда есть ф-я непрерывная.
Следствие: если функциональный ряд в некоторой области Д сходится равномерно то в этой области возможен предельный переход: .
В области равной сходимости функциональных рядов их можно почленно интегрировать.
.
Равномерносходящиеся ряды в области равной сходимости можно почленно диффериенцировать.
.
17. Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
Непрерывность суммы.
В области равномерной сходимости сумма ряда есть ф-я непрерывная.
Следствие: если функциональный ряд в некоторой области Д сходится равномерно то в этой области возможен предельный переход: .
В области равной сходимости функциональных рядов их можно почленно интегрировать.
.
Равномерносходящиеся ряды в области равной сходимости можно почленно диффериенцировать.
.
18. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Теорема Абеля.
Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком х, для которого .
Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого .
Доказательство: Так как по предположению числовой ряд сходится, то его общий член при , а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд в виде и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:
Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда
При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.
Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию . Действительно, если бы в какой-либо точке х-, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке , так как . Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. Теорема полностью доказана.
Интервалом сходимости степенного ряда является такой интервал от –R до R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для
19. Радиус сходимости.
Радиусом сходимости назовем такое R , что при всех х, таких что |x|<R ряд сходится, а при всех х, |x|>R, ряд расходится. (-R, R) – интервал сходимости.
Замечание: при |x|<R ряд сходится абсолютно. В точке x=R x=-R надо исследовать отдельно.
Нахождение радиуса сходимости.
Составим ряд из модулей данного ряда и применим к нему признак Даламбера. Найдем предел (U(n+1)/Un). Ряд сходится при |x|<lim(an/a(n+1); расходится при |x|>lim(an/a(n+1);
точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.