6.2. Задание плоских и пространственных линейных преобразований при помощи уравнений связи

В аналитической форме плоское линейное преобразо-вание можно представить в следующем виде:

x* =ax + by + e;

y* = cx + dy + f;

где x*, y* - преобразованные координаты,

a, b, c, d, e, f – постоянные коэффициенты.

На плоскости точку представляют с помощью двух ее координат (x, y), поэтому, для однозначного задания коэф-фициентов преобразования (a,b,c,d,e,f) необходимо указать три пары точек (Р₁→Р₁*), (Р₂→Р₂*), (Р₃ → Р₃*), которые должны переводиться одна в другую с помощью линейного преобразования. В этом случае число уравнений

119

равно числу неизвестных (6). Система уравнений связи будет следующая:

x₁*= ax₁+ by₁+ e;

y₁*= cx₁+ dy₁ + f;

x₂*= ax₂+ by₂+ e;

y₂*= cx₂+ dy₂ + f;

x₃*= ax₃+ by₃+ e;

y₃*= cx₃+ dy₃ + f.

В векторной форме зависимость можно представить в виде:

Р*= М∙А , где

Определитель матрицы равен 0 тогда и только тогда, когда точки Р₁ ,Р₂ ,Р₃ лежат на одной прямой, т.е. раз-мерность образуемой ими фигуры меньше 2. Если точки лежат на одной прямой, то координаты одной из них, на-пример,Р₃ , всегда можно представить в виде линейной комбинации координат других:

Р₃ = Р₁ + Р₂ ,

причём  + = 1.

Отсюда следует, что две последних строки матрицы могут быть представлены в виде линейных комбинаций соответствующих верхних строк с теми же числовыми коэффициентами. Из свойств определителей вытекает: det M=0. Поскольку все приведенные рассуждения обратимы, то из них следует и достаточность утверждения.

120

Если точки не лежат на одной прямой, то определи-тель не равен 0, и, следовательно, вектор коэффициентовА может быть найден в виде:

А=M ^-1∙Р* ,

где М ^-1 - матрица, обратная к М.

По аналогии с плоскими линейными преобразования-ми в пространстве линейное преобразование можно пред-ставить в виде:

x*= ax+by+cz+r;

y*= dx+ey+fz+s;

z*= gx+hy+qz+t .

Система уравнений связи имеет вид:

Р* = М∙А,

где Определитель матрицы М равен 0 тогда и только тогда, когда точки Р₁ ,Р₂ ,Р₃ ,Р₄ лежат в одной плоскости и образуют плоскую, а не пространственную фигуру. Это утверждение можно доказать по аналогии с плоским случаем.

121

При пространственном расположении точек det М≠0 и система имеет единственное решение вида:

А= М ^-1∙Р*.

Непосредственное определение линейных преобразо-ваний при помощи задания пар точек (Р_і ,Р_і*) и решение соответствующих уравнений связи мало наглядно и неудобно для машинной реализации. Поэтому этот подход мало используется на практике. Как правило, применяют матричное представление линейных преобразований.

6.3. Однородные координаты. Матричные представления линейных преобразований

Определение. Плоскими однородными координатами точки Р(x,y) называется набор чисел (x,y,1). Пространст-венными однородными координатами точкиР(x,y,z) назы-вается набор чисел (x,y,z,1).

Однородные координаты позволяют любое линейное преобразование координат точек представлять в виде умно-жения их слева на некоторую матрицу. Также однородные координаты позволяют оперировать с бесконечно удален-ными точками. Рассмотрим, например, точку на оси x. Ее однородные координаты обозначим через (а,0,0,1). Если устремить точку к бесконечности по оси x, то для ее одно-родных координат справедливо следующее:

lim (a, 0, 0, 1 )= lim a(1, 0, 0, 1/a)= lim a(1, 0, 0, 0).

a→∞ a→∞ a→∞

Таким образом, бесконечно удаленная точка по оси x может быть задана однородными координатами (1, 0, 0, 0). Аналогично могут быть заданы точки, бесконечно удален-ные вдоль осей y, z, а, также других прямых. Геометри-ческий смысл равенства нулю четвёртой координаты бес-

122

конечно удалённых точек состоит в том, что на них не дей-ствуют преобразования сдвига.

В дальнейшем также будут использованы понятия

тождественного и обратного преобразований.

Определение. Тождественным называется преобразо-вание однородных координат точки Р(x, y, z, 1), не изме-няющее их. Матрицей данного преобразования будет еди-ничная матрица

Определение. Пусть некоторое преобразование Т переводит все точки пространства (плоскости) Р в точки Р*. Обратным к Т называется преобразование Т ^-1, осу-ществляющее обратный перевод точек Р* в Р.

Последовательное выполнение преобразований Т и Т ^-1 дает тождественное преобразование с единичной матрицей Е: М_Т^-1М_Т = Е. Отсюда получим, что матрица обратного преобразования:

М_{Т -1} =М ^-1_Т.

Преобразование Т ^-1существует только при условии:

det М_Т  0.

Определение. Элементарными назовем следующие линейные преобразования: сдвиг, отражение, изменение масштаба, поворот.

1) Сдвиг на вектор (x₀, y₀, z₀). Все координаты точек увеличиваются на постоянные значения: x*=x+x₀ ; y*=y+y₀ ; z*= z+z₀ .

В матричной форме:

123

Выразим новые координаты точек через исходные, выполняя необходимые действия над матрицами:

При этом матрица сдвига на вектор (x₀, y₀, z₀) имеет вид:

М_сд(x₀, y₀, z₀) =

Обратное преобразование соответствует сдвигу на обратный вектор (-x₀, -y₀, -z₀):

М ^-1_сд(x₀, y₀, z₀) = М_сд(-x₀, -y₀, -z₀).

2) Отражение. При данном преобразовании одна или несколько координат точек меняют свой знак на проти-воположный. Матрицы преобразований получаются из мат-рицы Е заменой соответствующих диагональных элементов с 1 на (-1). Обратные преобразования отражения совпадают с прямыми. Рассмотрим основные виды отражений.

а) Отражение относительно плоскости -например,0yz (x=0). При этом однородные координаты точек по осям y, z оста-ются неизменны, а по x изменяют свой знак на противопо-

124

положный: Р = (x, y, z, 1) → Р* = ( - x, y, z, 1). Прямая и обратная матрицы преобразования будут следующими:

М_от.(x)= М ^–1_от.(x) =

Матрицы отражений относительно других плоскостей строятся аналогично.

б) Отражение относительно оси - например, 0х . Сохраняют-ся однородные координаты точек по этой оси (x); по остальным ( y, z) - изменяют свой знак на противополож-ный:Р=(x, y, z, 1) →Р*=(x, - y,- z, 1). Матрицы прямого и обратного преобразований:

М_{от.(y, z)} = М ^–1_{от.( y, z)} =

При отражении относительно других осей матрицы строятся аналогично.

в) Отражение относительно начала координат . Все одно-родные координаты точек изменяют свой знак на противо-положный:Р=(x, y, z,1) →Р* =( -x, -y, -z,1). Матрицы пре-образования будут следующими:

М_{от.(х, y, z)} = М ^–1_{от.(х, y, z)} =

Изменение масштаба.

Координаты всех точек Р(x, y, z) умножаются на фик-сированные положительные числа a, b,c (коэффициенты из-

125

менения по осям x, y, z):

P*=

При отсутствии изменения координаты ее коэффици-ент изменения равен 1.

Матрица для однородных координат при изменении масштаба образуется из Е заменой соответствующих диа-гональных единиц на коэффициенты изменения:

М_им(a, b, c) =

Обратное преобразование соответствует изменению масштаба с коэффициентами (1/a,1/b,1/c):

М ^-1_им(a, b, c) = М_им(1/a, 1/b, 1/c) =

4 ) Поворот. z

α

0

γ β y

x

Рис.6.4

126

Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат, можно представить в виде последо-вательных поворотов вокруг осей x, y, z. Положительные на-правления углов поворота вокруг этих осей обычно задают таким образом, чтобы из положительного направления оси поворот происходил против часовой стрелки. Соот-ветствующие матрицы имеют следующий вид:

а) матрица поворота на угол α вокруг оси z :

М_пz(α) =

б) матрица поворота на угол β вокруг оси y:

М_пy(β) =

в) матрица поворота на угол γ вокруг оси x:

М_пx(γ) =

Матрицы обратных преобразований:

M^-1_пz(α) = М_пz(-α); M^-1_пz(β) = М_пz(-β); M^-1_пy(γ) = М_пy(-γ).

Матрицы аналогичных плоских преобразований полу-

чают из пространственных вычеркиванием строки и столб-ца, соответствующих отсутствующей координате.

127

Функции на языке Autolisp, формирующие матрицы элементарных линейных преобразований, даны в Прило-жении:

1. сдвиг – функция SD (результат – в списке MSD);

2. отражение – функция MR (результат – в списке MMR);

3. изменение масштаба – SC (результат – в списке MSC );

4. повороты вокруг осей x, y, z – RX, RY, RZ (результат, соответственно, в списках MRX, MRY, MRZ ).

Задачи.

Записать прямые и обратные матрицы элементарных преобразований, при помощи которых можно осуществить следующие действия:

1. увеличение координат x на 10, уменьшение y на 20, z - на 40;

2. приращение на вектор (∆x,∆z)=(10,-10) в плоскости 0xz;

3. отражение относительно плоскости Oxz;

4. отражение относительно оси О z;

5. увеличение координат x - в 10 раз, z - в 20 раз - в пространстве;

6. уменьшение координат y в 2 раза, увеличение координат z в 3 раза в плоскости 0yz;

7. поворот на угол (-45°) вокруг оси x в плоскости 0yz;

8. поворот на угол 30° вокруг оси y в пространстве.